2015 Fiscal Year Research-status Report
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26400088
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| Research Institution | Nara Women's University |
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Principal Investigator |
山下 靖 奈良女子大学, 自然科学系, 教授 (70239987)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 双曲幾何学 / ３次元多様体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
曲面Σの基本群πからリー群Ｇへの表現全体の空間Hom(π,Ｇ)には群Ｇが共役により作用する。この作用による幾何学的不変式論の意味での商空間Ｘを指標多様体という。この指標多様体を、表現の像が離散群になる部分とそうでない部分に分割すると、前者はΣのＧ構造の変形の空間とみなすことができる。特にＧがＳＬ（２、Ｃ）の場合は双曲幾何構造の変形空間であり、重要な研究対象である。また、指標多様体には曲面Σの写像類群が自然に作用し、この作用の複雑さによっても指標多様体は２つに分割される。これら２つの関係は未解明な部分が多い。
平成２７年度においては、双曲多様体の絡み目体積についての研究を行った。絡み目体積とは、３次元多様体を３次元球面の分岐被覆として表示したときの複雑さを測る指標であり、アーカンソー大学のヨアフ・リエック氏と共に本研究代表者が近年導入したものである。とくに多様体がカスプを持つ体積有限非コンパクト双曲多様体である場合は、双曲デーン手術と呼ばれる双曲構造の変形が考えられ、この操作によって双曲体積がどのように変化するのかについてはある程度知られていたが、絡み目体積がどのようにふるまうのかは知られておらず、特に双曲体積と絡み目体積の関係はほとんど何も知られていなかった。今年度の研究によって、カスプの数が１つの場合における絡み目体積の変化について、cosmetic surgeryと呼ばれる概念とFarey triangulationと呼ばれるグラフを活用することにより調べ、絡み目体積と双曲体積はまったく異なった値になる得ること、特に両者の比が無限大に発散す例の存在を示すことができた。これは、絡み目体積が双曲体積では測ることのできない別の種類の複雑さをとらえているとみなすことができる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の計画においては、平成２７年度に指標多様体内で対応する表現の像が離散群になる部分とそうでない部分の研究を行う予定であった。絡み目体積および双曲体積の関係についての研究結果を得ることにより、このような離散群の研究を進展させることができた。そのため、上記の区分とした。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成２７年度に得られた結果は、３次元双曲多様体の中でもカスプと呼ばれる特徴的な部分集合の数が１つの場合に限られていた。これをより一般の数が多い場合に拡張しても、絡み目体積と双曲体積の関係において同様の現象が生じることが期待され、今後の研究課題となっている。
また、離散群の性質を調べ上で、群の各要素に対してcanonical representativeと呼ばれる代表系について研究することが有効であり、こちらの研究も推進する予定である。
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| Causes of Carryover |
海外出張で使用を予定していた分が、招待講演だったため旅費・宿泊費などを支出しなくてよくなったため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
平成２８年度に海外旅費として使用予定である。
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