2016 Fiscal Year Research-status Report
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26400090
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
森本 雅治 岡山大学, 自然科学研究科, 教授 (30166441)
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2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 群作用 / 多様体 / 不動点集合 / 同変手術 / s－同境 / バーンサイド環 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
G を有限群，F を（ある条件を満たす）閉多様体とする．「ある条件」としては，例えば「F はディスク上の滑らかなG－作用の不動点集合となるもの」などがある．本研究課題は，複素射影空間の列，実射影空間の列，レンズ空間の列のような特定の空間の列 X_1, X_2, X_3, ・・・, X_n, ・・・ に対し， n > N ならば X_n は F を不動点集合とする滑らかなG－作用を持つ，という条件を満たす自然数 N が存在するか否かを研究している．G が十分多くの部分群を持つ単純群であれば，k(n)-次元球面 S の列の上のG－作用を Oliver 理論を用いて構成し，それを利用し F を不動点集合とする X_n 上のG－作用を構成し，課題を解決できる．このため部分群があまり多くない（非可換）単純群 G の場合に，例えば G が 5 次や 6 次の交代群 A_5, A_6 の場合に，この問題の研究が重要である．これまでの研究では，初めに，G = A_5，(X_n) が単連結空間の列の場合に同変手術理論とs－同境理論を用いて問題解決ができた．次に，G = A_5，(X_n) が単連結ではない空間の列の場合に，s-ホモトピー同値の Wall 群 L(Γ(G, X_n)) から逆極限 Inv-Lim L(Γ(H, X_n)) への自然な写像の余核を利用し，同変手術理論とs－同境理論を用いて問題解決ができた．ここで H は G の真の部分群全体を渡り，Γ(H, X_n) は位相空間 EH x_H X の基本群である．この研究と関連し Burnside 環 A(G) から逆極限 Inv-Lim A(H)，H は G の真の部分群を渡る，への自然な写像の余核が自明な群となる必要十分条件は G が位数が異なる素数の冪である巡回群であることを証明した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
群 G が5次の交代群 A_5 の場合に，本課題研究の目標が達成でき，また一般の有限群 G の Burnside 環の逆極限に関する新たな知見が得られたから．
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| Strategy for Future Research Activity |
群 G が 6 次交代群 A_6 の場合の部分群全体の作る格子を細部まで把握し，A_5 の場合の手法を改良し，本課題研究を深める． A_6 の場合の部分群全体の作る格子を上手く記述できれば，その格子を利用した帰納法の議論が可能となるので，国の内外の変換群論研究者や代数学（特に群論，表現論）の研究者との研究交流を密にし，研究課題に取り組みたい．
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| Causes of Carryover |
購入を希望していた専門書（洋書）が入手できなかった．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
繰越額が小額なので，物品費として使用する計画である．
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