2014 Fiscal Year Research-status Report
双曲結び目のDunfield-Friedl-Jackson予想に関する研究
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26400096
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
森藤 孝之 慶應義塾大学, 経済学部, 教授 (90334466)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 結び目群 / 双曲結び目 / ねじれアレキサンダー多項式 / ファイバー性 / 結び目種数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，双曲結び目の基本群のSL(2,C)-表現に付随したねじれアレキサンダー多項式の基本的性質を明らかにし，そこから得られる代数的性質を用いて，結び目の幾何学的性質を特徴づける枠組みを与えることである．より具体的には，3次元球面内の双曲的結び目のファイバー性と種数に関するDunfield-Friedl-Jackson予想の解決に向けて，結び目群のSL(2,C)-指標代数多様体の（離散忠実表現を含む）適当なスライスとねじれアレキサンダー多項式の情報から，ファイバー性と種数を決定することを目標とする．大別すると，次の2点
1．双曲結び目のSL(2,C)-離散忠実表現に付随したねじれアレキサンダー多項式の明示公式，
2．得られた多項式の性質と結び目のファイバー性および種数との関係
を明らかにすることが目標となる．
上述の研究目標に対して，今年度は1．に焦点を絞って研究を行った．特に，3次元球面内の双曲的2橋結び目について詳しく考察し（Dunfield-Friedl-Jacksonの意味での）双曲的ねじれ多項式の係数が代数的整数となる十分条件（これは2橋結び目を含む，より広範な小さい結び目と呼ばれるクラスについても成り立つ），および，係数が実数となる十分条件を具体的に書き下すことに成功した．
また，2012年に出版された論文で与えていた，トーラス結び目の全ねじれアレキサンダー多項式の明示公式が成り立つ十分条件について，記述の不備を修正した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
結び目理論の代数的研究における「2橋結び目」や「小さい結び目」の位置づけは極めて重要で，これらのクラスに対して，双曲的ねじれ多項式の係数に関する，一つの代数的特徴づけを与えることに成功したことは，さらなる一般化に向けて，よい指針を与えるものと考えられるため．
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| Strategy for Future Research Activity |
平成26年度に得られた結果を基にして，次年度は9．研究実績の概要欄で述べた2つの具体的目的のうち，1．と2．の橋渡しに係る部分に焦点を絞って研究を行うことにする．より具体的には，双曲的2橋結び目のSL(2,C)-離散忠実表現を含む，パラボリック表現による指標代数多様体のスライスの考察を行う．特に，ファイバー性と種数に関する幾何学的情報がどのような仕組みで抽出できるかを解明し，より広範なクラスである小さい結び目の研究へと発展させることが課題となる．
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| Causes of Carryover |
ねじれアレキサンダー多項式の最新の研究成果について，専門的知識の提供を受けるために外国出張を予定していたが，先方の都合で日程調整がうまく行かず，出張を取りやめたため．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
今年度の早い段階で韓国・建国大学，フランス・マルセイユ大学を訪問し，上記専門的知識の提供を受けて，本年度の研究計画推進に役立てる計画である．
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