2015 Fiscal Year Research-status Report
双曲結び目のDunfield-Friedl-Jackson予想に関する研究
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26400096
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
森藤 孝之 慶應義塾大学, 経済学部, 教授 (90334466)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 結び目群 / 双曲的結び目 / ねじれアレキサンダー多項式 / パラボリック表現 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，双曲結び目の基本群のSL(2,C)-表現に付随したねじれアレキサンダー多項式の性質を明らかにし，そこから得られる代数的性質を用いて，結び目の幾何学的性質を特徴づける枠組を与えることである．より具体的には，3次元球面内の双曲結び目のファイバー性と種数に関するDunfield-Friedl-Jackson予想の解決に向けて，結び目群のSL(2,C)-指標代数多様体の（離散忠実表現を含む）適当なスライスとねじれアレキサンダー多項式の情報から，ファイバー性と種数を決定することを目標とする．つまり，大別して次の2点
1．双曲結び目のSL(2,C)-離散忠実表現に付随したねじれアレキサンダー多項式の明示公式．
2．得られた多項式の性質と結び目のファイバー性および種数の関係
を明らかにすることが目標となる．上述の研究目標に対して，今年度は１．と２．の橋渡しに係る部分に焦点を絞って研究を行った．より具体的には，双曲的2橋結び目のSL(2,C)-離散忠実表現を含むパラボリック表現(メリディアンの像のトレースが2となるSL(2,C)-表現)による，指標代数多様体のスライスを詳しく考察した．この研究の過程で，双曲的とは限らないすべての2橋結び目に対して，そのSL(2,C)-パラボリック表現の定義方程式（Riley多項式と呼ばれる）を詳細に考察し，Riley多項式の零点によって，2橋結び目がほとんど分類できることを示した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
結び目理論の代数的研究における「2橋結び目」とその「SL(2,C)-パラボリック表現」の位置づけは極めて重要で，これらの対象について，Riley多項式による2橋結び目の特徴づけを与えたことは，指標代数多様体の観点からねじれアレキサンダー多項式の研究を行う上で，良い指針を与えるものと考えられるため．
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| Strategy for Future Research Activity |
平成27年度に得られた結果を基にして，次年度は「9．研究実績の概要」欄で述べた2つの目標のうち，2．に焦点を絞って研究を行うことにする．より具体的には，次年度の早い段階で，2橋結び目を含む，より広範な結び目のクラスである「小さい結び目」に対してこれまで得られている結果を拡張し，さらに一般の双曲結び目の研究へと発展させることが課題となる．
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| Causes of Carryover |
ねじれアレキサンダー多項式および指標代数多様体の最新の研究成果について，専門的知識の提供を受けるために外国出張を予定していたが，先方との日程調整がうまく行かずに出張を取りやめたため．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度の早い段階で，フランス・マルセイユ大学およびポー大学を訪問し，上記専門的知識の提供を受けて，当該年度の研究計画推進に役立てる計画である．
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