2016 Fiscal Year Research-status Report
双曲結び目のDunfield-Friedl-Jackson予想に関する研究
| Project/Area Number |
26400096
|
|---|
| Research Institution | Keio University |
|---|
Principal Investigator |
森藤 孝之 慶應義塾大学, 経済学部(日吉), 教授 (90334466)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
|
| Keywords | 結び目群 / 双曲結び目 / ねじれアレキサンダー多項式 / ファイバー性 / 結び目種数 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，双曲結び目外部空間の基本群（結び目群）のSL(2,C)-表現に付随したねじれアレキサンダー多項式の基本的性質を明らかにし，そこから得られる代数的性質を用いて，結び目の幾何学的性質を特徴づける枠組みを与えることである．より具体的には，3次元球面内の双曲結び目のファイバー性と種数に関するDunfield-Friedl-Jackson予想の解決に向けて，結び目群のSL(2,C)-指標代数多様体の(離散忠実表現を含む)適当なスライスとねじれアレキサンダー多項式の情報から，ファイバー性と種数を決定することを目標とする．つまり，大別して次の2点
1．双曲結び目群のSL(2,C)-離散忠実表現（ホロノミー表現）に付随したねじれアレキサンダー多項式の明示公式，
2．得られたねじれアレキサンダー多項式の性質と結び目のファイバー性および種数との関係
を明らかにすることが目標となる．
上述の研究目標に対して，今年度は主として2．に焦点を絞って研究を行った．より具体的には，3次元球面内の長さ3を持つ双曲的プレッツェル結び目について詳しく考察を行い，Dunfield-Friedl-Jackson予想の（SL(2,C)-指標代数多様体のパラボリック表現によるスライスの情報を用いた）新しい証明を与えた．この双曲的プレッツェル結び目については，コンピュータおよび数式処理ソフトを援用した数値計算による予想の検証のみがなされていた状況であった．本研究課題のもと，Kim-Kitayama-Morifujiによる指標代数多様体の具体的計算結果を用いることで，予想の厳密な証明の一つを与えることに成功した．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
当初計画では「研究実績の概要」欄で述べた研究成果について，ねじれアレキサンダー多項式の専門家である海外の研究者を訪問してレビューを受ける計画であった．しかしながら，諸般の事情により実現できなかったため，論文としてまとめるのがやや遅れている状況である．
|
| Strategy for Future Research Activity |
今年度得られた研究成果に用いた手法は，ここで対象としている双曲的プレッツェル結び目に限らず広く汎用性を持つものである．そこで，次年度はこの手法を応用することによって，より広範な結び目のクラスである小さい双曲的結び目(small hyperbolic knot)に対して，Dunfield-Friedl-Jackson予想の解決を図るべく研究を推進する計画である．
|
| Causes of Carryover |
今年度は，これまでに得られている研究成果についてのレビューを受けるために，ねじれアレキサンダー多項式についての専門的知識を持った海外の研究者を訪問する計画であった．しかしながら，諸般の事情により実現できなかったため，次年度使用額が生じた．
|
| Expenditure Plan for Carryover Budget |
訪問が実現しなかったことによって，本年度中に完成する予定であった論文の発表ができなかったので，改めて海外の専門家にレビューを依頼する計画である．また，国内の学会・研究集会等で研究成果発表するための旅費として使用することも計画している．
|
