2014 Fiscal Year Research-status Report
非加法的測度の積算概念としての非線形積分の研究と摂動法による解析手法の開発
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26400130
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
河邊 淳 信州大学, 学術研究院工学系, 教授 (50186136)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 非加法的測度 / 非線形積分 / 摂動性 / 有界収束定理 / 擬加法的性質 / Choquet積分 / Sugeno積分 / Shilkret積分 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
１．非線形積分汎関数に対する有界収束定理の定式化：非加法的測度の積算概念であるChoquet積分，Sugeno積分，Shilkret積分は，理論的な取扱いが比較的容易で，応用範囲も広い．これら積分概念を実用化し，他分野への応用を目指すには，非線形積分に対する積分収束定理の確立が必須である．本研究では，上記３種の非線形積分が共通してもつ摂動性（測度と被積分関数に与えた微小な変化が積分汎関数の値の変化に及ぼす影響を線形的に捉えた条件）の概念を新たに導入し，室伏らが定式化したChoquet積分の有界収束定理を，一般の摂動的な非線形積分汎関数に拡張することを試みた．結果として，摂動条件を満たす非線形積分汎関数に対する有界収束定理の成立性は，積分汎関数を定める非加法的測度の自己連続性と同値となることを示した．応用として，Lebesgue積分や有限加法的測度に対するD-積分とS-積分，さらには，Choquet積分，Sugeno積分，Shilkret積分などの非線形積分をすべて含む積分汎関数に対する有界収束定理を確立した．
２．Choquet汎関数とその表現測度における擬加法的性質の相互保存性：Greco定理により，Choquet汎関数とその表現測度は１対１に対応する．本研究では，非加法的測度論の展開に欠かせない擬加法的性質である，弱漸近零加法性，漸近零加法性，上からの自己連続性，上からの一様自己連続性，擬距離生成性，弱零加法性，零加法性，劣モジュラー性，優モジュラー性を表現測度がもつために汎関数に課す必要十分条件を見出した．証明では，Kindlerが線形汎関数に対するDaniell-Stone型表現定理の別証明に用いた劣グラフによる測度の構成手法が有効に機能した．この研究により，Choquet汎関数とその表現測度における擬加法的性質の相互保存性が明らかとなった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
１．研究計画「非線形積分に対する有界収束定理の成立性と測度の自己連続性との同値性」については，論文「The bounded convergence in measure for nonlinear integral functionals」が国際専門誌Fuzzy Sets and Systems (Elsevier社)に掲載された．関連研究として，非線形積分汎関数に対する単調収束定理，Fatou補題，優収束定理の定式化に向けた追加的な研究を行っている．
２．研究計画「非加法的測度の弱収束に関するPortmanteau型定理の一般非線形積分を用いた定式化」と「同程度一様自己連続な非加法的測度の集合上での測度の弱収束の一様性」については，論文「Weak convergence of nonadditive measures based on nonlinear integral functionals」が国際専門誌Fuzzy Sets and Systemsに掲載が決定している．
３．研究計画「非線形積分に対するRiesz型及びDaniell型積分表示定理」に関連する研究として，講演論文「Choquet汎関数とその表現測度における擬加法的性質の遺伝性」が第19回曖昧な気持ちに挑むワークショップ講演論文集に公表された．また，この論文の結果をより拡張した結果を含む英語論文を国際専門誌に投稿中である．
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| Strategy for Future Research Activity |
申請時の研究計画・方法に基づき，研究を推進する．また，比較的順調に研究が進んでいることから，下記の課題についても追加で研究を行う．
１．非線形積分汎関数に対する単調収束定理，Fatou補題，優収束定理の定式化
平成26年度の研究で導入した非線形積分汎関数に対する摂動性の概念を用いて，一般の非線形積分汎関数に対して，上記の積分収束定理の定式化を試み，非加法的測度論における非線形積分の汎関数的な取り扱い手法を確立する．
２．有界連続関数空間上の連続なChoquet汎関数の表現測度のco-連続性
申請者を含めた従前の研究により，様々な関数空間上で定義されたChoquet汎関数のChoquet積分表示定理はすでに確立されている．しかし，局所コンパクトでない一般の正規空間上の有界連続関数空間を定義域空間とする連続なChoquet汎関数に対して，co-連続な表現測度を選べるか否かは未だ不明である．そこで，従来とは異なる表現測度の構成手法である「Greco定理を用いた測度の構成手法」を詳細に検討することで，この未解決問題を肯定的に解決する方策を考案する．
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| Causes of Carryover |
当初計画では，研究成果発表のための海外出張を本年度実施予定であったが，大学の公務と重なったため，次年度以降に実施することとした．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度も，国内外で開催される研究集会に積極的に参加し，本研究課題に関連した研究発表，研究打合せ，情報収集のための旅費として使用予定である．また，平成27年度に開催責任者として主催する実解析学シンポジウムで講演を希望している数名の研究者（この研究課題と密接に関連する研究を行っている）の参加旅費としても使用予定である．
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