2016 Fiscal Year Annual Research Report
Sample path analysis for symmetric Markov processes and Dirichlet forms
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26400135
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
塩沢 裕一 岡山大学, 自然科学研究科, 准教授 (60454518)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | マルコフ過程 / ディリクレ形式 / ブラウン運動 / 分枝ブラウン運動 / 保存性 / 非再帰性 / レート関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
１）双曲空間上のブラウン運動について，レート関数に対する積分判定法を得た。ここでレート関数とは，保存性・非再帰性の定量的表現にあたる関数のことである。本結果は，動径過程の確率微分方程式による表示と，１次元ブラウン運動に対する Kolmogorov 判定法から従う。体積増大度が優多項式的な空間上のブラウン運動，より一般に正則ディリクレ形式に対応する対称拡散過程に対して，Grigor’yan や Hsu 等により，レート関数の上限に対する評価が得られている。本結果は，状態空間の体積増大度が指数的な場合において，レート関数が決定される例になっている。
２）優臨界的（多次元）分枝ブラウン運動に対して，粒子の空間内での広がり具合（（線形）拡散度）を調べた。その結果，分枝率が無限遠点で十分に小さければ，あるシュレディンガー型作用素の最小固有値から拡散度が定まることが分かった。Erickson (1984), Bocharov-Harris (2014)は，無限遠方で小さい分枝率を持つ分枝ブラウン運動の拡散度を求めた。前者では，多次元の場合には分枝構造に球対称性を仮定している。後者では，分枝率がディラック測度から定まる（1次元の）場合について，ブラウン運動と局所時間の同時分布を用いて拡散度を求めている。本結果の証明は Bocharov-Harris (2014)に沿っているが，ブラウン運動と，分枝率に対応する正値加法的汎関数との同時分布を用いる必要はなく，分枝率の球対称性も不要である。
３）今年度は，マルコフ過程をテーマとした研究集会「マルコフ過程とその周辺」を共同で開催し，研究交流や情報交換を行った。さらに，国内外の研究集会やセミナーにおいて研究成果の報告や議論を行った。なお，本研究費の一部を旅費にあてた。
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