2014 Fiscal Year Research-status Report
振動型積分作用素理論とそれの量子場のFeynman経路積分への応用
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26400161
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
一ノ瀬 弥 信州大学, 学術研究院理学系, 教授 (80144690)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
佐々木 格 信州大学, 学術研究院理学系, 准教授 (50558161)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | Feynman経路積分 / 場の理論 / Dirac方程式 / 相対論的な因果律 / 緩増加超関数空間 / Schroedinger方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は、相対論的量子電磁気学の非摂動Feynman経路積分の数学的、即ち感覚的でなく、厳密な構成を与えることである。交付申請書において、平成26年度の実施計画は、(1) Schroedinger方程式とDirac方程式に対する、超関数上のFeynman経路積分の数学的構成、(2) Dirac方程式に対するFeynman propagatorの、Feynman経路積分による構成であった。
(1) の研究については、従来２乗可積分空間や滑らかな空間について、Feynman経路積分の数学的構成が為されていた。本年度の研究において、Schwartzの緩増加超関数空間において、Schroedinger方程式とDirac方程式に対する、Feynman経路積分の数学的構成に成功した。
(2) の研究については、本研究者（一ノ瀬）は2014年の論文で、過去と未来を行き交う経路を考えるFeynman経路積分の数学的構成を行い、Feynmanがノーベル賞講演でその期待を述べていた、反粒子である陽電子の導入に成功した。本年度の研究では、2014年の論文の結果の拡張を行い、無限の過去にも又無限の未来にも可算回行き交う経路を考える、Feynman経路積分の数学的構成を行うことに成功した。これにより、同時刻に、可算個の電子と反電子（陽電子）を同時に考えることが可能になった。従来の結果では、有限個の電子と反電子しか考えることが出来なかった。Feynman propagatorの、Feynman経路積分による構成の研究については、この研究の結果に基づき、平成27年度に行う計画である。
交付申請書で書いた以外に得た結果として、Dirac方程式の解が、相対論的な因果律を満たすことの、Feynman経路積分を用いた証明を与えた。この結果は、双曲型偏微分方程式の解の有限伝播性として、偏微分方程式論で良く知られた結果である。偏微分方程式論での証明は、困難なものである。これの直接的で簡明な証明を与えることに成功した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
交付申請書の実施計画(1)のSchroedinger方程式とDirac方程式に対する、超関数上のFeynman経路積分の数学的構成。この計画については、完全に解決した。即ち、Schwartzの緩増加超関数空間において、Feynman経路積分の数学的構成に成功した。
交付申請書の実施計画(2)のDirac方程式に対するFeynman propagatorの、Feynman経路積分による構成。同時刻に、可算個の電子と反電子（陽電子）を同時に考えることが可能になる、非摂動Feynman経路積分の数学的構成に成功した。この経路空間での非摂動Feynman経路積分を用いることで、現在の物理学で知られている摂動論的な場の理論の結果と対応する結果が期待出来るようになった。現代物理学の摂動論的な場の理論では、同時刻に、可算個の電子と反電子を考えているので、Feynman経路積分においても、同じ状況を考える必要性があったが、これを解決したことになる。
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度の研究で、無限の過去にも又無限の未来にも可算回行き交う経路を考える、非摂動Feynman経路積分の数学的構成に成功した。
この結果を用いて、平成27年度は先ず、交付申請書の実施計画(2)の「Dirac方程式に対するFeynman propagatorの、Feynman経路積分による構成」を行う。
次に、量子電磁気学の非摂動Feynman経路積分の数学的構成を行い、この結果を用いて、物理的に単純な例の一つであるCompton効果の計算を行う。
Dirac方程式に対するFeynman propagatorの、Feynman経路積分による構成の結果を用いると、摂動論的な場の理論によるCompton効果の計算が得られる。これと、非摂動Feynman経路積分によるCompton効果の計算の一致を示すことで、非摂動論的な場の理論の構成の可能性を示すことが期待できる。
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| Causes of Carryover |
当初計画していた、京都大学大鍛冶隆准教授との打ち合わせを、１回分次年度に繰り越したため、未使用額が生じた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
当初の平成２７年度の計画に加えて、京都大学大鍛冶准教授との打ち合わせの回数を一つ増やす計画である。
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