2016 Fiscal Year Annual Research Report
Scattering theory for periodic Schroedinger Operators
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26400165
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| Research Institution | Kyoto Institute of Technology |
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Principal Investigator |
峯 拓矢 京都工芸繊維大学, 基盤科学系, 准教授 (90378597)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 数理物理学 / 関数解析学 / 関数方程式論 / Hardyの不等式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成２８年度には、磁場中における Hardy-Rellich 型不等式に関する研究を行った。2次元ユークリッド空間のラプラシアンについては通常は Hardy の不等式および Rellich の不等式は成立しないが、Aharonov-Bohm 型磁場（原点におけるδ関数で表される磁場）をかけると類似の不等式が成立することが知られている。この不等式は、例えば磁場をスケール変換して原点に集中させる特異極限における作用素の収束の問題などで、解核作用素の特異性を制御するために有用である。本研究ではそれをさらに発展させ、2次元空間において動径方向にのみ依存する形の磁場を考え、原点中心・半径 r の円内の磁束が「r→0 のときには2πα、r→∞ のときには2πβに収束する」という仮定の下で、 Rellich 型不等式が成り立つための条件について考察した。まず、上記の円内の磁束が2つの値のみを取るモデルケースに関して、具体的な計算によって不等式が成立するための必要十分条件を与え、2016年9月に行われた「夏の作用素論シンポジウム」において発表した。証明の主な手法は Metafune-Sobajima-Spina で用いられた変数変換を用いて、不等式の証明を非自己共役作用素のスペクトルの問題（特に、それが点 0 を含まないこと）に帰着させる、というものである。しかし、非自己共役作用素のスペクトルでは、自己共役作用素の場合には現れない剰余スペクトルが現れ、この場合には 0 が剰余スペクトルに含まれても不等式が成立してしまう場合がある。その場合を含めた解析を行い、上記の必要十分条件を与えることに成功した。現在は Fredholm 型作用素の指数に関する摂動理論を用いて、遠方で速く減衰する摂動によって不等式の成立が保たれるか否かについて研究を行っている。
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Research Products
(3 results)
