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26400176
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
谷 温之 慶應義塾大学, 理工学部, 名誉教授 (90118969)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
井口 達雄 慶應義塾大学, 理工学部, 教授 (20294879)
野寺 隆 慶應義塾大学, 理工学部, 教授 (50156212)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | free boundary problem / Hele-Shaw problem / Navier-Stokes equations / MHD / primitive equations / water wave / drift wave turbulence / Penrose-Fife equation |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1. (1)primitive方程式系の自由境界問題に関しては, 大気/海洋2相系に対する時間局所一意強可解性証明(速報は公刊済, フルパーパーは査読中), 海洋1相問題に対する時間大域解を小データ下で構成(草稿執筆中); (2)水の波基礎方程式系に関しては, 水底の凹凸の時間変化が適当に小さい場合，変形 Green-Naghdi 方程式による高次近似が可能であること(公刊済), 変分構造から得られる近似 Lagrangian に対する Euler-Lagrange 方程式の初期値問題の可解性のための必要十分条件の特徴付けと, その自明解まわりの線形近似方程式系が，Green-Naghdi 方程式より高次の浅水波近似方程式を与えることの証明(公刊済); (3)斜面を下る非圧縮性粘性流体の薄膜近似(無次元化)基礎方程式系の解のフィルムパラメーターに関する一様評価の導出(公刊済); 斜面を下る非圧縮性粘性流体の薄膜近似としてのBurgers 方程式, 4階の消散項, 3階の分散項をともなう Burgers 方程式の数学的正当化(査読中); (4) Hele-Shaw 問題に関しては, 表面張力効果なし2相, 表面張力効果あり1相問題の時間局所古典解の存在を放物型正則化問題経由で証明(受理済), 表面張力効果なし1相, 表面張力効果あり2相問題の時間局所古典解の存在証明(査読中), 上記4問題の時間局所古典解の存在の直接証明(草稿執筆中) , 境界上の濡れ効果, 粘性鉛直応力効果を考慮に入れた2 相問題の時間局所古典解の存在証明(草稿準備中). 2. トカマク内の抵抗性ドリフト波乱流の(2粒子)モデル方程式(Hasegawa-Wakatani方程式) に対する初期-境界値問題のステパノフ概周期関数解の一意存在証明(in press). 3. 圧縮性 Navier-Stokes 方程式に対する古典的MHD 2相自由境界問題の時間局所古典解の一意存在(草稿準備中). 4. order parameter 保存, 非保存 Penrose-Fife 方程式に対するフラックス境界条件下での時間大域強解の一意存在(草稿執筆中).
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究テーマが多岐に亘るので, 各テーマが同程度に進捗している訳ではないし, 年度計画案からは遅れ気味なテーマもある. しかし, 基本は自由境界問題で, 各テーマ間には強い相互関連性がある.
(1)primitive方程式の大気/海洋2相自由境界問題に対する結果は,先行研究が全てrigid lid の仮定下で議論されているのに比べ, 自由境界問題としての最初の数学上の結果である. 時間大域解を海洋primitive方程式に対して, 平衡状態のまわりで構成した. 弱解ではなく, 強解である点が重要である.(2)Radial Hele-Shaw問題に対する1相, 2相問題が表面張力効果有る場合, 無い場合ともに時間局所古典解をもつことを放物型正則化法経由で証明した. この結果は一般古典解の初めての結果である. この方法では解の一意性が得られないので, 正則化しない本来のHele- Shaw問題に対する同様の問題が時間局所古典解を持つことを証明した. この結果も初めての結果である. さらに, Radial Hele- Shaw問題は ill-posed問題であり, 実験結果と理論の相違が指摘されている. それを解消するために提案された境界上の濡れ効果, 粘性鉛直応力効果を考慮に入れた2 相問題の時間局所古典解の存在結果も初めての結果である. (3) Hasegawa- Wakatani方程式に対する初期-境界値問題がステパノフ-概周期一意解をもつことを示した結果はトカマク内の抵抗性ドリフト波乱流の(2粒子)モデル方程式に対する新しい結果であり, これを踏まえ同方程式に対する自由境界問題への議論が現実的になってきた. (4)圧縮性Navier-Stokes方程式に対する古典的MHD2相自由境界問題の古典解の一意存在結果は, 宇宙物理学の諸問題への応用の観点からも重要である.
以上の理由から, 現在までに得られた結果は, 先行研究を凌駕していると同時に, 将来に亘る研究に対する展望を齎すもので, 統合的に見て, おおむね順調に進展していると判断している.
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| Strategy for Future Research Activity |
(1)圧縮性Navier-Stokes方程式に対するMHD自由境界問題を中心課題として研究を推進する. 真空と圧縮性粘性MHD自由境界問題の進めている. 真空中には流体はないが, 磁場は作用している問題設定は宇宙物理学の諸問題へ応用される. 時間大域解存在を非圧縮性粘性MHD自由境界問題に対するSolonnikovの結果を参考にしながら進める. さらに, 本研究課題の主要目標であるEMHDをベースにしたMHD近似方程式に対する諸問題の数学解析を進める. その際, 流体は圧縮性粘性流体を基本とするが, 非圧縮性(非)粘性流体の場合に対しても議論を展開する. その第１段階は, 電磁気学分野の基本である分極・磁化を考慮に入れたMHD近似(新MHD方程式) を導く(従来の MHD 近似は分極・磁化を考慮に入れていない). その新MHD方程式と圧縮性Navier-Stokes方程式に対する自由境界問題の可解性について研究を進める. (2)Ferrofluids に対するHele-Shaw 問題, ising ferro- magnets に対する相転移問題の数学解析を進める. (3)気相/固相自由境界問題研究として, 昇華現象すなわち圧縮性粘性流体と固体に対する自由境界問題の可解性について考察する. ここでも, Stefan問題の場合と同様, 運動学的境界条件に対する取り扱いが問題となる. その点を明確にするため, 非圧縮性粘性流体に対するStefan問題の結果(1999-2002)の再検討から始める. (4)気相/液相自由境界問題研究として, 大気1相, 大気/海洋2相primitive方程式に対する自由境界問題の時間大域解の構成を進める. これに関連する最重要事項は, 大気, 海洋におけるhydrostatic近似, rigid lidの仮定の正当性であるが, これらについての考察を深める. (4)固相/固相自由境界問題研究として, (粘) 弾性体の亀裂伸展問題を考察する. 2次元の場合は Hele-Shaw 問題とも共通点があるので, 合わせて研究を進める. ここでも, Hele-Shaw 近似についての吟味が必要である.
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| Causes of Carryover |
下記２氏による講演を予定していたが, 体調不良による来日中止, 及び日程の都合上実現できず, その招聘費用が未使用になった.
V. A. Solonnikov: 古典的 MHD 方程式に対する自由境界問題とそれに関連する諸問題; K. R. Rajagoapl: rational mechanics 基づいた(粘)弾性体における亀裂伸展に関する諸問題及び連続体に新モデル方程式.
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
2016 年度来日予定の Rajagopal 氏の講演謝金に充てる. さらに, 非線形現象の数学解析に関する国際会議開にあわせ Pukhnachev, Khludnev 氏の招聘費用に充てる.
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