2015 Fiscal Year Research-status Report
代数的符号理論に基づくマトロイド理論の新展開と量子情報理論への応用
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26400187
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
城本 啓介 熊本大学, 自然科学研究科, 教授 (00343666)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
千葉 周也 熊本大学, 自然科学研究科, 講師 (80579764)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 符号理論 / マトロイド / 量子情報理論 / 組合せ論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究代表者は代数的符号理論において，これまで，主に与えられたパラメータや数理構造をもつ符号の存在問題および構成法の研究をおこなってきた．本研究においては，こうしたこれまでの研究を土台にして，マトロイド理論と量子情報理論の2分野における同種の古典的問題を新たな視点から研究し，異なる分野間における統一的構造の理解をより深めることを目的として研究を進めている．
本年度においては，前年度におこなった各課題における計算機実証結果をもとにそれらの結果の一般化および拡張研究に取り組んだ．具体的な研究成果は以下の通りである．
１．マトロイドとそのマイナーの関係を符号理論的に把握するために，昨年度実施した符号とそのマイナー（穿刺と短縮を繰り返して得られる符号）の計算機を用いた具体例についての理論的解析を行った．具体的には，自己同型群・特性多項式や臨界指数等の多種のパラメータについてのデータについて，それらのデータ間から抽出できる普遍的な関係について整理を行った．特に代表的なマトロイドマイナーに対応する完全グラフ・完全2部グラフについて考察をおこなった．
２．任意の表現マトロイドに対する臨界指数の限界式の導出を目的として，表現マトロイドの基集合の各部分集合に対して一般化臨界指数を新たに定義し，符号の一般化ハミング重みの研究で用いた研究手法を用いて，様々な限界式の導出，双対ハミング符号の一般化臨界指数の決定をおこなった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究期間内の2年目と言うことで，昨年度実施した研究基盤作りのための計算データの収集及び解析を用いて，理論的解析を行い，それらの結果を一般化することで新たな数学的結果を得ることができたためおおむね計画通りに進んでいると判断した．
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| Strategy for Future Research Activity |
有限集合上で定義された均一座標性のみをもつ非線形符号である弱アフィン符号についてマトロイドの表現問題を，与えられたマトロイドが弱アフィン符号から構成可能かどうかの構成判定問題へと進展させ，これまで用いた符号理論における手法を一般のマトロイドへ拡張することも視野に入れていくこととした． また，臨界指数の一般化であるマトロイドの最小被覆数の決定問題について，符号理論的アプローチによる限界式の導出を考慮していきたい．
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| Causes of Carryover |
購入を予定していた計算機を次年度以降の購入へ変更し，その代わりに研究の計画進度を考慮して，国際会議での研究期間における途中成果の発表のための国外旅費として優先的に使用したため．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
新型の（ノート型）計算機の購入および研究期間における途中成果の発表のための国外旅費として主に使用する予定である．
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[Presentation] Critical exponents of Dowling matroids2015
Author(s)
Yoshitaka Koga
Organizer
39th Australasian Conference on Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing
Place of Presentation
University of Queensland (Brisbane, Australia)
Year and Date
2015-12-07 – 2015-12-11
Int'l Joint Research
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