2015 Fiscal Year Research-status Report
傾理論を軸とする岩永-Gorenstein環の表現論的研究
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26800007
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| Research Institution | University of Yamanashi |
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Principal Investigator |
山浦 浩太 山梨大学, 総合研究部, 助教 (60633245)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 傾対象 / 安定圏 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は入射次元が1である非負次数付き岩永-Gorenstein環Aに対して、次の進展1, 2があった。
1. Aが有限次元代数であるという仮定の下、次数付きCohen-Macaulay加群の安定圏における傾対象の構成について研究を行い、次の結果を得た。Aの0次部分環の大域次元が有限であるならば、安定圏に準傾対象Uが存在することを示した。ここでUは、Aが自己入射的である場合に私が構成した傾対象Tの1st-syzygyである。さらにAのソークルがある次数に集中している時、Uは傾対象であることを示した。注意として、昨年度に入射次元が2で、Tの2nd syzygyが準傾対象にならない例が見つかっており、入射次元が高い場合に同様の構成は上手くいかないことがわかっている。
2. 本研究の目的は、Aの次数付きCohen-Macaulay加群の安定圏と、別の環の有界導来圏との三角圏同値を構成することである。本研究は傾対象を用いたアプローチに主眼を置いていたが、本年度は別の観点から研究を実施した。Happelおよび自身の先行研究では、Aが自己入射代数の時、安定圏に自然なt構造が存在し、その心臓を用いて安定圏と別の環の有界導来圏との間に三角圏同値を構成することが可能であった。これと同様の方針による研究を行い、Aの入射次元が1の場合に次の結果を得た。
(1) 次数付き加群の圏には、次数から引き起こされる自然な捩れ対が存在する。
(2) (1)で与えた捩れ対から安定圏のt構造が構成できる。ただし、このt構造は先行結果で示されているt構造とは異なるものであった。
今後も入射次元が1である岩永-Gorenstein環に対して、研究を継続する予定である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
研究計画の根幹である傾対象の構成問題が解決していない。その為のアプローチを続けたが、解決に至るまでの十分な成果が得られなかったことから、当該年度の研究達成度は低い。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究に遅れが生じている為、計画を繰り下げて研究を継続する。一般の岩永-Gorenstein環に対して結果を得ることは困難であるので、幾つかの仮定の下で研究を遂行する。具体的には、以下の研究に取り組む予定である。
1. 入射次元が1であるアルティン的岩永-Gorenstein環について、本年度示した準傾対象が傾対象であるか否かを明らかにする。また、その準同型環のホモロジー的性質を調べる。
2. 次数付き岩永-Gorenstein環がアルティン的でない場合に、傾対象の構成を考察する。具体的に次のクラスについて調べる予定である。
(1) 環の入射次元が1であるクラス。
(2) 傾対象の存在がわかっている完全型岩永-Gorenstein有限次元代数のクラスを、ネーター環の場合に拡張することを試み、そのクラスについて研究を進める。
3. 次数付きCohen-Macaulay加群の安定圏と導来圏との間の三角圏同値が存在した時、それが次数付きでないCohen-Macaulay加群の安定圏と適当な導来軌道圏との間の三角圏同値を引き起こすかどうかを考察する。
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| Causes of Carryover |
研究発表ができるだけの十分な成果が得られなかったため、成果発表の出張を行ったおらず、その旅費が次年度使用額として残っている。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度使用額は次年度の研究打ち合わせ、または成果発表の為の旅費として使用する。
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