On p-adic aspects of automorphic forms and their applications

2017 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 26800016
• Research Institution: Hiroshima University
• Principal Investigator: 河村 尚明 広島大学, 理学研究科, 助教 (00533746)
• Project Period (FY): 2014-04-01 – 2018-03-31
• Keywords: 保型形式 / p進保型形式 / L函数 / p進L函数

Outline of Annual Research Achievements

本研究は, 簡約代数群に対して定義される保型形式が持つ様々な性質を古典的保型形式論とp進解析的保型形式論の双方に基づく多角的視点から考察を行い, 更に, その結果から数論幾何学的応用を導出することを目的に実施されたものである. 以下では, その成果について概説する:
(1) 有理数体上の分裂斜交群 GSp(2n) や虚2次体上の準分裂ユニタリ群 U(n,n) に対して, Siegel Eisenstein級数と呼ばれる非尖点的保型形式のp進正規化として得られる正則保型形式のp進解析族から, それらを補完するLambda進保型形式 (Lambda進Siegel Eisenstein級数) を明示的に構成した. これにより, E. Eischen, M. Harris, J.-S. Li, C. Skinner等やZ. Liuによって得られていたものと類似のp進測度 (p進Siegel Eisenstein測度) を構成することができた. 尚, 本研究で得られたp進Siegel Eisenstein測度は上述の先行研究で得られていたp進測度と厳密には異なるものであり, その差異がp進L-函数を構成する際, 具体的にどのような形で表出するかについては, 残念ながら現時点で未だ充分な考察が与えられていないため, 今後更に深く研究を推し進める必要があると考える.
(2) 上述の(1)と同様の議論を用いて, 池田保氏によって構成されていたDuke-Imamoglu-Ikedaリフトのp進正規化を通して, 一般線型群 GL(2) から GSp(4n) や U(n,n)へ尖点的保型形式のp進解析族の持ち上げが構成できた. 尚, U(2,2)の場合にはT. BergerとK. Klosinによって類似の結果が若干異なる方法を用いて得られており, 上述の方法との関連性についても研究が望まれる.