2015 Fiscal Year Research-status Report
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26800041
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| Research Institution | Shimane University |
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Principal Investigator |
渡邉 忠之 島根大学, 総合理工学研究科(研究院), 講師 (70467447)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | Chern-Simons摂動理論 / Morse理論 / 結び目 / 有限型不変量 / 同変不変量 / ファインマンダイアグラム |
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| Outline of Annual Research Achievements |
前年度から継続して、一般の3次元多様体に対する同変摂動理論の構成を試みた。前年度に、3次元多様体M内のnull-homologousな結び目の有限型不変量を、手術により定義した。また、Mが円周上の曲面束で1次べッチ数が1の場合に、次数2以下の有限型不変量を同変摂動理論により構成した。次数2以下となっていたのは、次数2以下では単純なグラフしかなく、結び目を変形する間に起こりうる「アノマリー」と呼ばれる特別な分岐が、グラフの対称性によってキャンセルしてしまうため、考えなくてよいからであった。
今年度は、M内のnull-homotopicな結び目に対して、次数3以上で起こるアノマリーによる分岐を打ち消すための補正項を導入し、すべての次数において同変摂動的不変量を構成した。この同変摂動的不変量を用いて、基本群が可換であるような3次元多様体内のnull-homologousな結び目に対する有限型フィルトレーションの次数商の線形構造を完全に決定した。具体的には、各辺が多変数ローラン多項式で色付けされたグラフのある同値類が張るベクトル空間から次数商への自然な同型が、クラスパー手術（あるいは結び目の交代和）により与えられることを示した。これは、3次元ユークリッド空間内の結び目の有限型不変量に対するコンツェビッチの定理の類似である。この結果に関する論文は投稿準備中である。
Mをより一般の3次元多様体に拡張すること、および（結び目を中に持たない）3次元多様体自体の同変摂動的不変量の構成については現在研究中である。今年度複数回行った研究協力者との研究打合せ、研究集会への参加は大変有益であった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究計画のA3、A4に相当する部分が、fiberedな3次元多様体内のnull-homologousな結び目に対して達成したこと。
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| Strategy for Future Research Activity |
一般の3次元多様体に対する同変摂動理論の研究を進める。また、研究目的(II)の研究を遂行するため、embedding calculusやオペラッドに詳しい研究者と議論する。
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| Causes of Carryover |
招聘により旅費が先方負担となることがあったため、旅費が計画していたよりも少なく済んだ。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
計画通りに研究を遂行し、残額が生じたら返還する。
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