2015 Fiscal Year Research-status Report
ハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式の数値解析とその展開
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26800079
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
中野 張 東京工業大学, 大学院イノベーションマネジメント研究科, 准教授 (00452409)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | フィルタリング / 確率偏微分方程式 / 準補間法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、確率制御理論に現れる非線形偏微分方程式のDirichlet問題と線形確率偏微分方程式に対する基底関数近似法の研究に取り組み、後者について準補間関数による近似法を開発した。特に、連続時間非線形フィルタリングに現れるZakai方程式にこの準補間法を適用し数値的に収束を示した。また、厳密な誤差評価を行い、短い時間区間においては提案近似法が理論的にも収束することを証明した。より詳細には、理論的誤差解析については昨年度開発した粘性解概念による技術が適用できないため、従来から知られているソボレフ空間における確率偏微分方程式の理論を用い、時間と空間の離散化誤差評価を行った。端的に述べれば、全体の誤差は厳密解の時間離散化誤差と各時間ステップにおける厳密解の準補間近似誤差の累積によって表されることを証明した。本年度研究成果を米国産業・応用数学会の会議において発表した。
連続時間非線形フィルタリングにおける既存数値計算法は実装が難しいものがほとんどだが、本年度研究実績により、実装が容易で計算時間も短い近似法が提供されることになり、ファイナンスや工学上の実際的な問題解決のための有効な道具となることが期待できる。
研究実施計画では、平成27年度に非線形偏微分方程式のDirichlet問題に対する基底関数近似法の研究、平成28年度に確率偏微分方程式に対する基底関数近似法の研究を実施予定であったが、前者の収束証明は予想以上に困難で、別の近似法の開発も視野に、本年度実施研究と平行して進め来年度に成果が出せればと考えている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実施計画では、平成27年度に非線形偏微分方程式のDirichlet問題に対する基底関数近似法の研究、平成28年度に確率偏微分方程式に対する基底関数近似法の研究を実施予定であり、「研究実績の概要」で述べたように順序が逆になったが、当該年度の研究計画は着実に遂行されたため、本研究課題の進捗は順調と判断する。
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度は確率偏微分方程式の全空間における近似のため準補間法を採用したが、今後は有界領域でのみ適用可能なメッシュフリー法の開発と収束証明を行う。必要であれば有界領域に制限した場合の確率偏微分方程式の理論的整備も行いたい。
さらに、当初平成27年度計画に記載していた非線形偏微分方程式のDirichlet問題に対するメッシュフリー法の研究を進め、平成28年度に成果を出す予定である。
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