高次元カテゴリー論による群の表現論の基礎付け

Research Project

Project/Area Number	09874001
Research Category	Grant-in-Aid for Exploratory Research
Allocation Type	Single-year Grants
Research Field	Algebra
Research Institution	Hokkaido University
Principal Investigator	吉田知行北海道大学, 大学院理学研究科, 教授 (30002265)
Co-Investigator(Kenkyū-buntansha)	山田裕史北海道大学, 大学院理学研究科, 助教授 (40192794) 辻下徹北海道大学, 大学院理学研究科, 教授 (10107063) 和久井道久大阪大学, 大学院・理学研究科, 助手 (60252574) 丹原大介弘前大学, 理学部, 助教授 (50163712) 奥山哲郎北海道教育大学, 教育学部旭川校, 教授 (60128733)
Project Period (FY)	1997 – 1998
Project Status	Completed (Fiscal Year 1998)
Budget Amount *help	¥1,700,000 (Direct Cost: ¥1,700,000) Fiscal Year 1998: ¥700,000 (Direct Cost: ¥700,000) Fiscal Year 1997: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000)
Keywords	高次元カテゴリー / モノイダルカテゴリー / マッキー関手 / 有限群のモジュラー表現 / バーンサイド環 / カテゴリーの母関数 / 種 / 有限生成群の母関数 / category / monoidal category / MacMilliams identity / code / topos / bicategory / crossed Buenside ring / Mackey functor
Research Abstract	高次元カテゴリーに関係したいくつかの成果が得られた。主なものをあげる。 1. カテゴリーの母関数。カテゴリーεの母関数とは、形式的無限和ε(t)=Σ_<X∈ε>t^X/\|Aut(X)\|のことである。ここでt^Xは、対象Xの同型類に対応した不定元である。これについて、以下の結果を得た。 (1) Joyalによる種の理論との関係。 (2) εが強いKrull-Schmidtカテゴリー(つまり直和分解の一意性が成立する)なら、指数関数型恒等式 ε(∪)=exp(Con(ε)(∪)) が成り立つ。 (3) 逆に、指数関数型恒等式が成り立てば、若干の条件の下でεが強いKrull-Schmidtカテゴリーになる。これらの結果は、北大のプレプリント(1998#416,432、いずれもJ.Algebraに投稿中)に見られる:T.Yoshida,Categorical aspects of generating functions(I) :Exponential formulas,(II)Operations on categories and functors. 2. クロスバーンサイド環。Gを有限群、Sを有限G-モノイドとする。クロスG集合とは、Sへの重み関数をともなう有限G-集合のことである。クロスG-集合については、テンソル積が定義できる。したがって、クロスG-集合のグロタンディエック環(クロスバーンサイド環)が定義できる。これについて、以下の結果が得られた。 (1) クロスG-集合とDrinreldによるquarltum doubleとの関係。 (2) クロスバーンサイド環の基本定理。 (3) ベキ等元公式とその応用。これらの結果は、次の論文に公表予定(J.Algebraに投稿)である: F.Oda-T.Yoshida,Crossed Burnside rings(I),(II).そのほか、マッキー関手や、群論の古典的問題に関係したいくつかの結果が得られており、順次論文として公表予定である。