3次元多様体上の双曲構造の変形とリーマン面のモジュライ空間

• Project/Area Number: 10740036
• Research Category: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: Geometry
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 藤井 道彦 京都大学, 総合人間学部, 助教授 (60254231)
• Project Period (FY): 1998 – 1999
• Project Status: Completed (Fiscal Year 1999)
• Budget Amount: ¥2,100,000 (Direct Cost: ¥2,100,000); Fiscal Year 1999: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000); Fiscal Year 1998: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000)
• Keywords: 双曲多様体 / 双曲錐多様体 / カスプ / 構造変形 / リーマン面のモジュライ空間 / タイヒミュラー空間 / デーン手術

Research Abstract

特異点集合Σが単純閉曲線S^1と同相となる成分のみもつ、3次元双曲線錐多様体Mを考える。Hodgson-Kerckhoffによって、錐角θが2π以下ならば、錐角を少しだけ変形させるという、Mの微少変形が可能であることが分かっている。また、Kojimaによって、錐角θが任意有限ならば、特異点集合Σを除いてできるM＼Σ上には、Σをtorus cuspとするよう滑らかな双曲構造が入り、M＼Σが3次元双曲多様体になることが分かっている。この双曲多様体をM_0と表すことにする。このM_0は、Σにおける錐角がちょうど0度の3次元双曲錐多様体とみなせる。そこで、本研究では、Mの錐角θが2π以下ならば、Mの双曲構造の変形の途中でthin partが生じないという条件の下では、錐角を連続的に単調に減少させて0度まで(つまり、M_0まで)到達するという変形が可能である、ということを証明した。錐角θがπ以下ならば同様の変形が可能であることがすでにKojimaによって示されていた(ただし、Kojimaはthin partが生じないという条件をつけないで証明している)が、その証明を少し改良することによって、上述の結果を得られたのである。錐角θがπより大きいと,MのDirichlet基本多面体Pが凸とは限らなくなるが、2π以下でありさえすれば、Pは星型領域であることと、特異点集合Σに相当する部分がPの中心からの2等分面にはさまれることの2点を用いて、Kojimaと同様の議論をすれば証明できるのである。