Cohomology theory of finite groups

• Project/Area Number: 15K04777
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Research Field: Algebra
• Research Institution: Shinshu University
• Principal Investigator: SASAKI HIROKI 信州大学, 学術研究院教育学系, 教授 (60142684)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2020-03-31
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2019)
• Budget Amount: ¥3,900,000 (Direct Cost: ¥3,000,000、Indirect Cost: ¥900,000); Fiscal Year 2018: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2017: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2016: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2015: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
• Keywords: 有限群 / ブロック・イデアル / コホモロジー環 / デフェクト群 / ソース多元環 / 部分対 / エクストラ・スペシャル群 / トランスファー写像 / エッセンシャルBrauer対

Outline of Final Research Achievements

Block ideals of finite groups are objects in representation theory of finite groups; nowadays their source algebras are in main concern. Cohomology rings of block ideals are a kind of invariants of the source algebras. We expect that the cohomology rings of block ideals are the images of the maps from the cohmohology rings of defect groups which is induced by the source algebras. In this study we have established that this conjecture holds for blocks of tame representation type and with defect groups isomorphic with extraspecial p-groups; we have also verified for block with defect groups isomorphic with wreathed 2-groups that their cohomology ring is the image of maps induced by a direct summand of the source algebras. In course of investigation of these block we have proved theorems concerning direct summands of the source algebras, which are so impotant.

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

有限群のブロック（イデアル）のコホモロジー環に対してはホモロジー代数的手法が適用できず、表現論の深い理解が必要である。本研究は、ブロックのコホモロジー環同士にも、通常のコホモロジー環と同様に、然るべき写像が存在するべきであるという予想の証明に向かっての第一歩を印したものである。その過程で、ブロックのソース多元環の直和因子についての存在と重複度についての定理を提出したが、これはソース多元環の加群構造に関して停滞していた研究に新たな重要な進展をもたらした。

Research Products

• [Journal Article] A note on module structures of source algebras of block ideals of finite groups (2017)
  • Author(s): T. Okuyama and H. Sasaki
  • Journal Title: Journal of Algebra Volume: 497 Pages: 92-101
  • DOI: 10.1016/j.jalgebra.2017.10.026
  • Peer Reviewed
• [Presentation] defect 群が extraspecial p-群である block ideal について (2019)
  • Author(s): 佐々木洋城
  • Organizer: 第３１回有限群論草津セミナー
• [Presentation] ブロックイデアルのソース多元環の加群構造 (2019)
  • Author(s): 佐々木洋城
  • Organizer: 研究集会「有限群のコホモロジー論とその周辺」
• [Presentation] ブロックイデアルのソース多元環の加群構造について (2018)
  • Author(s): 佐々木洋城
  • Organizer: 日本数学会2018年度秋季総合分科会
• [Presentation] ブロック・イデアルのソース多元環の加群構造（２） (2018)
  • Author(s): 佐々木洋城
  • Organizer: 理科大表現論セミナー
  • Invited
• [Presentation] デフェクト群がextraspecial p-群であるブロック・イデアルのコホモロ ジー環 (2018)
  • Author(s): 佐々木洋城
  • Organizer: 日本数学会 2018年度年会(2018.3.18～3.21)
• [Presentation] Source algebras and cohomology rings of blocks with extraspecial defect groups (2017)
  • Author(s): 佐々木 洋城
  • Organizer: 有限群のコホモロジー論とその周辺
  • Place of Presentation: 京都大学数理解析研究所
  • Year and Date: 2017-02-16
• [Presentation] ブロック・イデアルのソース多元環の加群構造 (2017)
  • Author(s): 佐々木洋城
  • Organizer: 理科大表現論セミナー
  • Invited
• [Presentation] ブロック・イデアルのソース多元環の加群構造について (2017)
  • Author(s): 佐々木洋城
  • Organizer: 有限群論草津セミナー
• [Presentation] extraspecial p-群をディフェクト群とするブロック・イデアルについて (2016)
  • Author(s): 佐々木 洋城
  • Organizer: 有限群論草津セミナー（第28回）
  • Place of Presentation: 草津セミナーハウス（群馬県吾妻郡）
  • Year and Date: 2016-07-30