Density Theorems of Closed Geodesics for Nilpotent Extensions and Asymptotics of Heat Kernels

• Project/Area Number: 18K03282
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11020:Geometry-related
• Research Institution: Kyushu University
• Principal Investigator: KATSUDA ATSUSHI 九州大学, 数理学研究院, 教授 (60183779)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2023-03-31
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2022)
• Budget Amount: ¥4,290,000 (Direct Cost: ¥3,300,000、Indirect Cost: ¥990,000); Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2021: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2020: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2019: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000); Fiscal Year 2018: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
• Keywords: Floquet-Bloch / Asymptotic formulas / Heisenberg / heat kernel / closed geodesic / ハイゼンベルグ群 / 離散べき零群 / 素測地線 / 熱核 / 漸近展開 / 漸近挙動 / 素閉測地線 / 密度定理 / リッチ曲率 / キリングベクトル場

Outline of Final Research Achievements

Floquet-Bloch theory is a fundamental tools of solid state physics. We have established its generalization to Heisenberg group. As its applications, we proved long time asymptotic formula of heat kernels on covering spaces and geometric analogue of the Chebotarev density theorem for Heisenberg extensions.

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

Floquet-Bloch理論は通常無限アーベル群の対称性を持つ物質におけるシュレディンガー作用のスペクトルの構造の解析に用いられるもので，バンド理論とも呼ばれ，物性物理での基本ツールである．これまでその非可換拡張は非可換離散群は非I型と呼ばれるクラスに属するため，確立されていなかった．今回最も単純な場合ではあるが，最も基本的なHeisenberg群に対して確立したことは，新たな方向への第一歩となると考えている.

Research Products

• [Journal Article] An extension of the Bloch-Floquet theory to the Heisenberg group and its applications to asymptotic problems for heat kernels and prime closed geodesics (2022)
  • Author(s): 勝田 篤
  • Journal Title: 数理解析研究所講究禄 Volume: 2201 Pages: 59-75
  • NAID: 120007170963
  • Open Access
• [Journal Article] A rigidity theorem for Killing vector fields on compact manifolds with almost nonpositive Ricci curvature (2021)
  • Author(s): Katsuda, Atsushi; Nakamura, Takuya
  • Journal Title: Proc. Amer. Math. Soc. Volume: 149 Issue: 3 Pages: 1215-1224
  • DOI: 10.1090/proc/14742
  • Peer Reviewed
• [Presentation] An extension of the Bloch-Floquet theory to the Heisenberg group and its applications to geometric Chebotarev density theorems andlong time asymptotics of the heat kernels (2022)
  • Author(s): 勝田 篤
  • Organizer: 福岡大学 微分幾何研究集会
  • Invited
• [Presentation] Nash の埋め込み定理の原証明とその応用可能性 (2022)
  • Author(s): 勝田 篤
  • Organizer: 研究集会「測地線及び関連する諸問題」
  • Invited
• [Presentation] Riemann の教授資格取得講演と現代のリーマン幾何学 (2022)
  • Author(s): 勝田 篤
  • Organizer: 研究会「直観幾何学 2022」
  • Invited
• [Presentation] 素数と素閉測地線ーDirichlet,Riemann,Selbergー (2022)
  • Author(s): 勝田 篤
  • Organizer: 研究会「直観幾何学 2022」
  • Invited
• [Presentation] 閉測地線, 熱核, ハイゼンベルグ群 (2020)
  • Author(s): 勝田 篤
  • Organizer: 研究集会「測地線及び関連する諸問題」
  • Invited
• [Presentation] Closed geodesics and heat kernels for Heisenberg extensions (2019)
  • Author(s): 勝田 篤
  • Organizer: 研究集会「 多様体上の微分方程式 」金沢シリーズ第18回
  • Invited