Global structure of solutions for differential equations of singular perturbation type and exact WKB analysis
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19H01794
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 12010:Basic analysis-related
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| Research Institution | Doshisha University |
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Principal Investigator |
竹井 義次 同志社大学, 理工学部, 教授 (00212019)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Project Status |
Completed (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥8,710,000 (Direct Cost: ¥6,700,000、Indirect Cost: ¥2,010,000)
Fiscal Year 2023: ¥2,210,000 (Direct Cost: ¥1,700,000、Indirect Cost: ¥510,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
Fiscal Year 2021: ¥2,210,000 (Direct Cost: ¥1,700,000、Indirect Cost: ¥510,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Fiscal Year 2019: ¥1,560,000 (Direct Cost: ¥1,200,000、Indirect Cost: ¥360,000)
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| Keywords | 完全WKB解析 / 微分差分方程式系 / 超幾何函数 / 隣接関係式 / 積分表示式 / ボロス係数 / ホロノミック系 / 微分方程式 / 差分方程式 / 超幾何方程式 / パンルヴェ方程式 / 単純極 / 時間依存シュレディンガー方程式 / 確率微分方程式 / ファインマン・カッツの定理 / 非遺伝性変わり点 / ベッセル関数 / ストークス幾何 / 仮想的変わり点 / リッカチ方程式 / インスタントン解 / ボレル総和法 |
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| Outline of Research at the Start |
特異摂動型微分方程式が有するWKB解やインスタントン解と呼ばれる形式解に、ボレル総和法を用いて意味付けを行うのが完全WKB解析である。完全WKB解析を応用し、微分方程式の解の大域構造を具体的に記述することが本研究の目的である。楕円函数への変換を利用してパンルヴェ方程式の場合にまずこれを実現し、さらに関連する線型偏微分方程式系や差分方程式の完全WKB解析の理論整備にも本質的な進展をもたらすことを目指す。
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、主としてガウスの超幾何函数やその合流型が満たす微分差分方程式系（即ち、微分方程式と隣接関係に由来する差分方程式の連立系）の完全WKB解析に関する研究を竹井優美子氏（茨城高専）と共同で行った。得られた研究成果は次の通りである。
ガウスの超幾何函数の解析においては、微分方程式を主たる対象とし隣接関係に由来する差分方程式を補助的に用いるのが通例である。その発想を逆転し、差分方程式の方を主たる対象とした上で、その独立変数であるパラメータに関する逆ラプラス変換を考える。このとき、逆ラプラス変換によって得られる微分方程式系のWKB解は有限級数となり、そのラプラス変換は古典的に良く知られたガウスの超幾何函数やその合流型の積分表示式に他ならないことを示した。（実際には、ガウスの超幾何函数、その合流型であるクンマーの合流超幾何函数、ベッセル函数、及びウェーバー函数について、上記の結果を示すことに成功した。）これは、前年度に得られた微分差分方程式系のWKB解のボレル変換に関する結果をより根源的に説明する、非常に示唆的な結果である。ポーランドや沖縄科学技術大学院大学、及び京都大学等で開催されたいくつかの国際研究集会でこの結果を発表した。さらに、ウェーバー方程式のWKB解のボロス係数はベルヌイ数を用いて記述されるが、上述の微分差分方程式系を利用したこの定理の見通しの良い新たな証明を見出した。ボロス係数は数理物理にも幅広い応用をもつ重要な量であり、この新たな証明法は隣接関係を含んだ上述の微分差分方程式系が非常に有用であることを示唆している。
一方、廣瀬三平氏、佐々木真二氏（共に芝浦工大）等とのホロノミック系の完全WKB解析に関する共同研究については、その成果をまとめた共著書がほぼ完成した（スプリンガー社から刊行予定）。夏頃までには脱稿できる見込みである。
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| Research Progress Status |
令和5年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
令和5年度が最終年度であるため、記入しない。
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Report
(5 results)
Research Products
(13 results)
