Project/Area Number |
19K03399
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Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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Allocation Type | Multi-year Fund |
Section | 一般 |
Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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Research Institution | Nagoya University |
Principal Investigator |
柳田 伸太郎 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (50645471)
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Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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Budget Amount *help |
¥4,550,000 (Direct Cost: ¥3,500,000、Indirect Cost: ¥1,050,000)
Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2021: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2020: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2019: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
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Keywords | 量子代数 / 頂点代数 / 変形理論 / Macdonald多項式 / 表現論 / 代数幾何 / 導来Poisson代数 / 超幾何関数 / 代数幾何学 / 導来スタック / Hall代数 / モジュライ空間 / 導来代数幾何 |
Outline of Research at the Start |
本研究の目的は、従来見い出せなかった非可換代数の持つ対称性をモジュライ理論によって明らかにすることである。 モジュライ空間とは数学的対象の集まりを空間とみなしたもので、本研究では代数幾何学の空間概念であるスキーム、正確には近年整備されつつある導来代数幾何学で扱える導来スタックとして実現されるモジュライ空間を考察する。それにより、近年の数理物理学でも登場する頂点代数やHall代数などの非可換代数を研究する。頂点代数は超弦理論の数学的基礎付けとして現れ、またHall代数は量子群に関係する代数構造である。これらの代数構造は複雑だが、幾何学的見地によってスマートに解析できることを期待している。
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Outline of Annual Research Achievements |
2022年度の研究内容は主に3つある. (1) 4月頃から9月まで博士前期課程学生の西中祐介氏と共同で, 超対称性を持つ頂点代数のオペラッド的を研究を行い, 超対称性がない場合に対しBakalov, De Sole, Heruani, Kac氏らが導入したカイラルオペラッドの超対称性版を構成した. 成果はプレプリント Y. Nishinaka, S. Yanagida, "Algebraic operad of SUSY vertex algebra", arXiv:2209.14617 で発表した. この研究はその後も続けており, 2023年度初頭には続編の論文を発表する予定である. (2) 4月頃から10月まで博士前期課程学生の服部真宗氏と共同で, Ding庵原代数と楕円量子群の共通一般化であるダイナミカルDing庵原亜代数を導入し, 成果をプレプリント M. Hattori, S. Yanagida, "A dynamical analogue of Ding-Iohara quantum algebras", arXiv:2210.02777 で発表した. (3) 6月頃から11月まで博士後期課程学生の山口航平氏と共同で, Macdonald差分作用素の双スペクトル問題を研究し, 特にパラメータ特殊化との関係を階数1の場合を中心に調べた. 成果はプレプリント K. Yamaguchi, S. Yanagida, "A review of rank one bispectral correspondence of quantum affine KZ equations and Macdonald-type eigenvalue problems", arXiv:2211.13671 (京大数理研講究録に掲載予定) で発表した. この研究も続行している.
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Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度は学生との共同研究を多角的に進めることができ, その結果, 多くの研究論文を発表することができた. また, 研究過程において以下のような引き続きの研究課題が見つかった. (1) 超対称頂点代数のオペラッド的研究に関して, その退化版である超対称Poisson頂点代数のオペラッド研究を行う. これに関しては2023年度初頭に研究成果をプレプリント発表できる見込みである. (2) 楕円量子群および頂点代数と関連した話題として, 楕円曲線のモジュライのコンパクト化, 及び偏極Abel多様体のモジュライのコンパクト化と量子代数の普遍族の関係を研究する. (3)表現論的応用として 双スペクトルMacdonald理論とモジュライ理論との関係を調べる. 以上の研究課題は当初の計画には含まれていないが, 来年度中にある程度の解決の見込みが立っている. 以上の理由より, 研究は概ね順調に進展しているといえる.
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Strategy for Future Research Activity |
前項「現在までの進捗状況」で挙げた3項目を主軸として2024年度の研究を進め, 本課題の最終年度を締めくくりたい. 各項目に関する推進方策は以下の通りである. (1) 超対称頂点代数のオペラッド的研究に関しては, Poisson版の共著論文を現在執筆中である. 時間に余裕があれば, 超対称頂点代数の共形ブロックの研究を進めたい. (2), (3)で触れたモジュライ理論と双スペクトル問題の関係については, 双スペクトル量子KZ方程式とAbel多様体のPicard束との関係を中心に, (非可換)代数幾何学からの量子可積分系へのアプローチを現在研究している.
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