Siegel modular forms and algebraic modular forms
| Project/Area Number |
19K03424
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
伊吹山 知義 大阪大学, その他部局等, 名誉教授 (60011722)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Project Status |
Completed (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,420,000 (Direct Cost: ¥3,400,000、Indirect Cost: ¥1,020,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,560,000 (Direct Cost: ¥1,200,000、Indirect Cost: ¥360,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Fiscal Year 2019: ¥1,560,000 (Direct Cost: ¥1,200,000、Indirect Cost: ¥360,000)
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| Keywords | パラモジュラー保型形式 / 次元公式 / 代数的保型形式 / ゼータ関数 / 微分作用素 / パラモジュラー形式 / 超特異アーベル多様体 / 種の理論 / L 関数 / モジュライ / 類数 / ジーゲル保型形式 / ４元数的エルミート形式 / 特殊関数論 / ラングランズ予想 / 類数公式 / pullback formula / アイゼンシュタイン級数 / 特殊多項式 / ４元数的エルミート群 / アーベル多様体 / 四元数的エルミート形式 / 保型的微分作用素 |
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| Outline of Research at the Start |
保型形式とはある種の高度な対称性を持つ解析関数のことで、数の存在の様子を記述するガロア表現や整数論と深く関わる対象である。本研究は定義も見かけも異なる保型形式が、実は本質的には全く同じ重要なデータを内包するという何種類かの観察を精密化し、証明しようとする試みである。その過程で自然に現れる微分作用素や特殊関数論も研究する。以上の対象は暗号理論にも利用される超特異幾何学を記述する算術的手段にもなっている。これらの多くの数学的対象の重層的交わりを総合的に研究する。
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| Outline of Annual Research Achievements |
パラモジュラー群というのは、アーベル多様体の偏極の型を固定したときのモジュライを定める群であり、特に２次元アーベル多様体に対応するときは、有理数体上定義された任意のアーベル多様体の Hasse Weil ゼータ関数がウェイト２のパラモジュラー形式のゼータ関数に一致するのではないかという、Brumer 予想がよく知られている。ここでウェイト２の保型形式は非常に特殊で、その次元公式を計算する一般的な方法は存在しないが、具体的な場合の計算の手段としてウェイト３以上のデータを C. Poor その他の研究者が多用していた。平方因子を持たないレベルのウェイト３以上の次元公式はかねてから研究代表者および北山秀隆などによりわかっていたが、これを Atkin-Lehner involution により細分した次元がいろいろな事情で必要とされていた。今回、素数レベルのパラモジュラー形式を Atkin-Lehner involution により +1 および -1 の固有空間のそれぞれの次元を具体的な明示公式として与えたのが、この研究テーマでの大きな成果である。この計算には、Dummigan, Pacetti, Rama, Tornaria の代数的保型形式との同型対応と浅井照明の５元２次形式の類数公式、および橋本・伊吹山による４元数的エルミート形式の類数公式の計算に基づいている。これに加えて、今年度は +1 と -1 のバイアスがどの程度であるかを正確に評価して、ウェイトのパリティーに応じて、一方が他方より恒に大きいかまたは等しいと言うことを証明し、また小さいレベルで次元の母関数の周回性(palindromic property) から環構造の考察をした。その他、微分作用素と moving slope, Harder 予想などについて共著論文を発表し、関連する発表などを行った。
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Report
(5 results)
Research Products
(55 results)
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[Journal Article] Harder's conjecture I2023
Author(s)
ATOBE Hiraku、CHIDA Masataka、IBUKIYAMA Tomoyoshi、KATSURADA Hidenori、YAMAUCHI Takuya
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Journal Title
Journal of the Mathematical Society of Japan
Volume: 75
Issue: 4
Pages: 1339-1408
DOI
ISSN
0025-5645, 1881-1167, 1881-2333
Related Report
Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
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