| Project/Area Number |
19K03430
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
吉田 健一 日本大学, 文理学部, 教授 (80240802)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Project Status |
Completed (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000)
Fiscal Year 2021: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Fiscal Year 2019: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
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| Keywords | 正規還元種数 / 正規正接錐 / 楕円特異点 / 有理特異点 / Gorenstein / 幾何種数イデアル / 楕円型イデアル / ｐｇイデアル / 強楕円型イデアル / 正規イデアル / Hilbert-Kunz 重複度 / pg イデアル / 正規環元種数 / F-signature / regular / F-regular / Frobenius morphism / Frobenius pushforward / Cohen-Macaulay / canonical module / Hiilbert-Kunz 重複度 / 整閉イデアル / Ulrich イデアル |
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| Outline of Research at the Start |
従来までの Hilbert-Kunz 重複度の研究は主として， 極大イデアルに関するHilbert-Kunz 重複度と他の不変量を比較して調べることにより，その局所環の性質を明らかにするという方法が用いられてきた。本研究は「極大イデアル」を「良い性質を持つ整閉イデアル」という対象に広げて研究する点に独創性があると言える。
また、本研究では，Hilbert-Kunz 重複度が非常に小さいものや特徴的な値を取るものに注目して，代表的な高次有理特異点のクラスを発見する予定である。
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究代表者は，令和４年度までは，渡辺敬一氏（日本大学文理学部，明治大学研究・知財戦略機構），奥間智弘氏（山形大学理学部）と共に２次元の幾何的イデアルに対する正規正接錐の環論的性質を中心に研究してきた。幾何的イデアルは正規還元種数が２以下のものが中心であるが，研究課程において，正規還元種数が大きい場合（３以上）の場合にも興味が移ってきた。実際，そのようなものが存在すれば，ベロネーゼを経由することで，幾何的イデアルの場合の存在が保証されるため，この研究は従来の研究と大いに関係がある。
実際，２次元 Gorenstein 正規特異点の整閉イデアルに対して，そのイデアルを特徴付けるある特異点解消上のアンチネフサイクルの交点数と正規還元種数などを用いて，イデアルの正規正接錐が Gorenstein になるための判定法を証明することができた。この判定法の応用として，ある特殊な斉次超曲面の一部に対して，その正規正接錐が Gorenstein になるような整閉イデアルを分類することにも成功した。結果はいずれも投稿中である。さらに，インドムンバイの Verma 氏のグループと協力して，従来の幾何的イデアルの正規正接錐の Gorenstein 性の研究を，より広いクラスであるヒルベルトフィルトレーションの場合に一般化することにも成功した。
さらに，Verma 氏のグループと交流することで，ヒルベルトフィルトレーションの相対的正規還元種数が最大値を取る場合が興味深いことが分かり，数値的半群の場合などを中心にあらたな研究プロジェクトを立ち上げる必要性を感じている。
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