多次元数系におけるdigitの漸近的挙動の解析に対する加法数論の応用
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19K03439
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
金子 元 筑波大学, 数理物質系, 助教 (10706724)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥3,250,000 (Direct Cost: ¥2,500,000、Indirect Cost: ¥750,000)
Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2021: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2020: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2019: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
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| Keywords | 一様分布論 / 数系 / sum of digit / ベータ展開 / 線形回帰数列 / 代数的整数 / ラグランジュスペクトラム / 円分多項式 / ディオファントス方程式 / 小数部分 / 正規数 / Pisot数 / 等比数列 / 多次元数系 / 解析数論 / 加法数論 / エルゴード理論 |
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| Outline of Research at the Start |
実数の10進展開等に現れる無限の数列の各項をdigitという。Digitの複雑性を研究することは、重要な研究課題である。例えば、円周率の10進展開におけるdigitはランダムであると予想されているが、証明は未解決である。Digitのランダム性は疑似乱数などへ応用を持つため、複雑性の解明が必要である。
本研究では、高次元連分数展開など、多次元の数系におけるdigitの複雑性を解析する。特に、digitのランダム性や周期性に関する未解決問題に挑戦する。
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| Outline of Annual Research Achievements |
一様分布論の主な研究課題の一つとして、digitの複雑性の研究がある。本年度はrotational beta expansionという数系に関して、代数的数を展開した際に現れるdigitの複雑性を保証することに成功した。特に、本研究によりPisot数、Salem数が数系において持つ性質を明らかにすることができた。
整数のsum of digitも、一様分布論だけではなく整数論における重要な研究テーマの一つである。素数など特殊な整数のsum of digitは特に関心が持たれている。本年度は、平方数の2進展開に関するsum of digitの解析を行った。特に、sum of digitに関連した、ある種のDiophantus方程式の有限性を保証することに成功した。さらに、その後フランスの研究グループとともに、平方数だけではなく立法数のsum of digitに関しても研究討議を行った。
さて、cyclotomic polynomialは整数論において、重要な役割を果たす。Cyclotomic polynomialの係数に関して、多くの数学者が研究を積み重ねてきた。今年度の研究では、cyclotomic polynomialの係数に関する整除性に関して研究討議を行った。その結果、新しい整除性の関係を見つけることに成功した。
さらに、一様分布論の研究テーマである数列の小数部分の分布にも取り組んだ。留数計算を利用することにより、小数部分に関する新しい公式を共同研究により開発することに成功した。この公式を用いて、線形回帰数列の小数部分の漸近挙動に関する新しい知見を得ることができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
本年度は、国際共同研究を含め、研究成果が3本の査読付学術論文として受理された。そのため、当初の計画以上に進展しているといえる。まず、rotational beta expansionのdigitに関する共同研究をまとめた論文が、査読付の研究論文として受理された。さらに、本論文を発展させた研究に関して、国際的に打ち合わせを行っている。
次に、cyclotomic polynomialに関する新しい整除関係を与えた共同研究をまとめた論文が、査読付の研究論文として受理された。さらに、本論文を発展させた研究に関して、打ち合わせを行っている。本研究をまとめた成果を、京都大学京都大学数理解析研究所における研究集会において報告した。
さらに、平方数の2進展開のsum of digitに関連のあるディオファントス方程式に関する解の有限性について論文にまとめた。この成果は国際共同研究であり、査読付の研究論文として受理された。本研究のさらなる進展に関する国際共同研究に関する打合せを、フランスの研究グループと行っている。本研究の成果について、2023年2月にオンライン上のワークショップにおいて報告した。また、共同研究者の一人が、2023年3月に弘前大学で行われた研究集会において本成果を報告した。
さらに、線形回帰数列における小数部分に関して、共同研究を行った。本研究について、現在論文にまとめ、投稿中である。本研究について、2022年5月にオンライン上のセミナーにおいて報告を行った。
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| Strategy for Future Research Activity |
一様分布論、特に等比数列をはじめとする線形回帰数列の小数部分の解析を行う。特に、ラグランジュスペクトラムの類似現象を解析するために、substitutionやS-adic systemなど、wordに関する理論が必要であると判明した。フランスなどに渡航し、numerationやwordに関する専門家と討議を行うことにより、研究を遂行する。
また、2進展開をはじめとする数系において、sum of digitなどを解析する。特に、素数や立方数など特殊な整数のsum of digitに関して、フランスの専門家と研究討議を行う予定である。これにより、ディオファントス方程式の解の有限性に関する新たな知見を得ることができると期待される。
さらに、numerationをはじめとする一様分布論の結果について、超越数論への応用を考察する。国内外の超越数論の専門家と研究討議を行うことにより、実数の超越性や代数的独立性に関する新たな知見を得ることができると期待される。
なお、本研究の最終年度であるため、国内外の研究集会において研究の最終報告を行う予定である。
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Report
(4 results)
Research Products
(23 results)
