ゲージ理論からの無限次元力学系とホモトピー論による低次元多様体の不変量
Project/Area Number |
19K03493
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Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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Allocation Type | Multi-year Fund |
Section | 一般 |
Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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Research Institution | Kyushu University |
Principal Investigator |
笹平 裕史 九州大学, 数理学研究院, 准教授 (30466825)
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Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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Budget Amount *help |
¥4,290,000 (Direct Cost: ¥3,300,000、Indirect Cost: ¥990,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2019: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
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Keywords | Seiberg-Witten理論 / Floer理論 / 低次元トポロジー / ホモトピー論 / 安定ホモトピー / Seiberg-Witten方程式 / ホモトピー理論 / ゲージ理論 |
Outline of Research at the Start |
本研究は3次元多様体、4次元多様体と呼ばれる図形の分類や性質を調べることを目的としている。その方法として、ゲージ理論とよばれる理論に由来する偏微分方程式を用いる。その偏微分方程式からうまく3次元、4次元多様体の情報を取り出すことが重要である。本研究では、Floer理論やホモトピー論というものを用いて情報を取り出す。
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Outline of Annual Research Achievements |
本研究ではSeiberg-Witten Floer 安定ホモトピー型という3次元多様体の不変量を研究した。この不変量は第一 Betti数が0の場合にManolescuによって定義された。Seiberg-Witten方程式が定義する力学系に対して, Conleyの指数理論を適用することで定義される。Seiberg-Witten Floer安定ホモトピー型はCW複体の安定ホモトピー型として定義され、そのホモロジーをとると, Seiberg-Witten Floerホモロジーが再現される。Bauer-Furuta不変量と呼ばれる4次元多様体の不変量の計算、境界付き4次元多様体のトポロジー、ホモロジー3球面のホモロジー同境群などへの興味深い応用が知られている。 第一Betti数が正の場合に、Seiberg-Witten Floer安定ホモトピー型を定義するれば、より多くの応用を得られることが期待できる。しかし、第一Betti数が正の場合に定義するには、本質的な困難があった。Kronheimer-Manolsescuによる先駆的な研究があったが、厳密に定義するには至っていなかった。本研究では、第一Betti数が正の場合にSeiberg-Witten Floer安定ホモトピー型の定義を確立することを研究し、2つのバージョンを定義することに成功した。さらに、境界付き4次元多様体のトポロジーに関するいくつかの応用を得ることができた。本研究はミシガン州立大学のStoffregenとの共同研究として行なった。
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Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の目標であった第一Betti数が正の3次元多様体に対するSeiberg-Witten Floer安定ホモトピー型の定義を、確立することができた。さらにトポロジーへの応用もいくつか得られた。
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Strategy for Future Research Activity |
今後は本研究で定義されたSeiberg-Witten Floer安定ホモトピー型を具体的に計算し、応用することを研究していく予定である。特に、3次元多様体を、結び目を用いて手術したときのSeiberg-Witten Floer安定ホモトピー型の振る舞いを研究することで、計算方法を確立することを目標とする。
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Report
(4 results)
Research Products
(11 results)
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[Journal Article] Twisted Donaldson invariants2021
Author(s)
T. Kato, H. Sasahira, H.Wang
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Journal Title
Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society
Volume: 171
Issue: 3
Pages: 515-568
DOI
Related Report
Peer Reviewed / Int'l Joint Research
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