錐双曲多様体の標準的基本多面体族を用いた3次元幾何構造の研究
Project/Area Number |
19K03497
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Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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Allocation Type | Multi-year Fund |
Section | 一般 |
Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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Research Institution | Osaka Metropolitan University (2022-2023) Osaka City University (2019-2021) |
Principal Investigator |
秋吉 宏尚 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 教授 (80397611)
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Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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Project Status |
Completed (Fiscal Year 2023)
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Budget Amount *help |
¥4,420,000 (Direct Cost: ¥3,400,000、Indirect Cost: ¥1,020,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2021: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Fiscal Year 2019: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
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Keywords | 双曲幾何 / 錐多様体 / 基本多面体 / 実射影構造 / 軌道体 / 基本領域 / 凸集合 / 曲面束 / クライン群 / 負曲率幾何 / 離散群 |
Outline of Research at the Start |
3次元多様体が許容するThurstonの意味での幾何構造相互の関係を調べるには,構造の滑らかさを一部で崩すことにより実現される錐特異点付きの構造を用いることが有効である.本研究では,もっとも重要と思われる錐双曲構造の変形と他の幾何構造への退化を,標準的な基本領域を用いることで詳細に理解することを目指すものである.その基礎をなす理論の構築のため,2橋結び目錐多様体からなる無限族を中心的に研究する.直接的な応用として,体積の小さな数論的クライン群の決定への寄与なども期待される.
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Outline of Annual Research Achievements |
研究開始時の本研究課題の目的に沿った研究成果として,ある種の錐曲面束に対する標準的基本多面体族について,いくつかの具体例に対して標準的理想多面体族の組み合わせ構造を決定することに成功した.また,共同研究を通して,Agolによりアナウンスされていた2放物的生成クライン群の決定に詳細な証明をつけた.この方向の研究を通して現れる難点として,多くの無限体積双曲構造に対するフォード領域は無限遠境界を持つため,その組み合わせ構造を固定した際の幾何構造には大きな自由度があるという側面があり,それをいかにコントロールするかが問題となる.無限遠境界の理解のため,実射影空間の部分集合として実現される双曲空間のクラインモデルにおいてEPH分割の幾何学的双対を調べることで,無限体積双曲構造に対するフォード領域(ディリクレ領域)の自然な「コンパクト化」を得ることができるのではないかという着想に至り,凸核が内点を持つカスプ付き双曲多様体に対し,拡張されたフォード領域が真性凸集合であること,さらに,その領域がカスプに対応する正光的錐の点集合の閉凸包の頂点における接錐の双対であり,付随する実射影構造の展開写像の像がproperであることもわかった.拡張されたフォード領域はMinkowski空間内のある凸集合の双対集合から定められるが,ディリクレ領域についても同様の構成を行うことにより,拡張されたディリクレ領域を考えることができる.有限体積双曲多様体のディリクレ領域の組み合わせ構造は基点を任意に動かしても高々有限個しか現れないことがわかった.この結果の精密な解析のため,最終年度には正八角形から得られる種数2の閉双曲曲面上で起点を動かしたときに得られるディリクレ領域の組み合わせ構造を数値計算により全て決定した.その応用として,いくつかの曲面に対してこれまで不明だった直径の近似値を得ることができた.
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Report
(5 results)
Research Products
(22 results)