複雑領域における楕円型方程式系のスペクトル解析と応用

• Project/Area Number: 19K03576
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
• Research Institution: Hokkaido University
• Principal Investigator: 神保 秀一 北海道大学, 理学研究院, 特任教授 (80201565)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 本多 尚文 北海道大学, 理学研究院, 教授 (00238817)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2024-03-31
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2023)
• Budget Amount: ¥2,990,000 (Direct Cost: ¥2,300,000、Indirect Cost: ¥690,000); Fiscal Year 2021: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2020: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000); Fiscal Year 2019: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
• Keywords: 複雑領域 / スペクトル / 楕円型方程式系 / 弾性体 / 特異変形 / 複雑構造 / 漸近解析 / ラメ作用素 / 非有界領域における熱核 / パターン形成 / 大域構造

Outline of Research at the Start

光や物質の波動や振動の現象において, 事象を特徴付ける重要な量が, それが起こる空間や媒質の形状を本質的に反映する. 代表例では吹奏楽器では,空洞の形が励起される音程を決めるファクターとなる. 一方地震が建造物を振動させる際の異なる共鳴の効果や, 亀裂や欠陥の有無の特徴と外部入力からの影響の依存性(非破壊検査)などの解析にも関連する. 日常のこれらの物理現象のほとんどが連続体力学が扱う研究対象であり, 弾性体の方程式や流体の方程式で記述され数学的には偏微分方程式となる. 本研究では解や関連する数学量の精密な特徴付けの公式を与え, 幾何的に変形したときに影響を解析する.

Outline of Annual Research Achievements

1. 小さい穴をもつ２次元領域, 細い欠陥をもつ３次元領域におけるラメの方程式系の固有値問題を考察した. ２次元の円環領域における斉次方程式の解の無限級数形の表現公式を計算した. これはスカラーの楕円型方程式に対するポアソン方程式の解の計算に相当する. また,内径が微小になる極限におけるディリクレエネルギーの漸近公式を計算した. これにより小さい穴をもつ領域におけるラメシステムの固有値問題の各固有値の漸近的公式を, 従来から有用であったスワンソンの方法を用いて得た. さらに３次元の有界領域において固定された閉曲線の管状近傍として得られる集合を領域から取り除いて得られる細い欠損を持つ領域の同様の固有値問題を研究した.
2. 1. 同様の課題を流体のモデル方程式であるストークス系について取り組んだ. まず固有値の摂動公式を研究するための近似固有関数やそのための補正項の精密な計算を実行した. この近似固有関数を用いて1. と同様のスワンソンの方法を適用してまず２次元の領域において小さな穴のある領域での各固有値の摂動公式を計算した. 次に３次元の細いトンネル状の欠損をもつ領域の各固有値の摂動公式を得た. これは流体内に細い棒を差し込んだ際の流れを解析することに相当する.
3. 複数の細い柱状の領域を接合して構成される極端形状をもつ３次元の弾性体の変形や固有振動の方程式の解の構造を研究した. 特に各細い部材の断面が一方向に極端につぶれている場合の極限方程式を解析した.

Research Products

• [Journal Article] Front propagation in the bistable reaction-diffusion equation on tree-like graphs (2024)
  • Author(s): Jimbo Shuichi、Morita Yoshihisa
  • Journal Title: Journal of Differential Equations Volume: 384 Pages: 93-119
  • DOI: 10.1016/j.jde.2023.11.016
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Asymptotic behavior of the eigenfrequencies of a thin elastic rod with non-uniform cross-section of extremely oblate shape (2022)
  • Author(s): Jimbo Shuichi、Ushikoshi Erika、Yoshihara Hiromasa
  • Journal Title: Calculus of Variations and Partial Differential Equations Volume: 62 Issue: 1 Pages: 1-30
  • DOI: 10.1007/s00526-022-02325-1
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Standing waves of reaction-diffusion equations on an unbounded graph with two vertices, SIAM J. Appl. Math. (2022)
  • Author(s): Satoru Iwasaki, Shuichi Jimbo, Yoshihisa Morita
  • Journal Title: SIAM Journal of Applied Mathematics. Volume: 82 Issue: 5 Pages: 1733-1763
  • DOI: 10.1137/21m1454572
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] Asymptotic behavior of entire solutions to reaction-diffusion equations in an infinite star graph (2021)
  • Author(s): Shuichi JIMBO, Yoshihisa MORITA
  • Journal Title: Discrete and Continuous Dynamical Systems Volume: 41 Pages: 4013-4039
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Asymptotic behavior of eigenfrequencies of a thin elastic rod with non-uniform cross-section (2020)
  • Author(s): Shuichi JIMBO, Albert RODRIGEZ MULET
  • Journal Title: Journal of Mathematical Society of Japan Volume: 72 Pages: 119-154
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Entire solutions to reaction-diffusion equations in multiple half-lines with a junction (2019)
  • Author(s): Jimbo Shuichi、Morita Yoshihisa
  • Journal Title: Journal of Differential Equations Volume: 267 Issue: 2 Pages: 1247-1276
  • DOI: 10.1016/j.jde.2019.02.008
  • Peer Reviewed
• [Presentation] 小さな穴のある領域と楕円型作用素の固有値の摂動 (2024)
  • Author(s): 神保秀一
  • Organizer: 広島数理解析セミナー(HMA), 広島大学
  • Invited
• [Presentation] Spectral asymptotics of domains with holes (2024)
  • Author(s): S. Jimbo
  • Organizer: ICMC Summer Meeting on Differential Equation -2024 Chapter, Sao-Carlos, Brazil
  • Invited
• [Presentation] 領域とスペクトル (2024)
  • Author(s): 神保秀一
  • Organizer: 非線形現象の数値シミュレーションと解析2024
  • Invited
• [Presentation] 単純な非有界グラフとアレンーカーン方程式 (2023)
  • Author(s): 神保秀一
  • Organizer: 応用解析研究会, 早稲田大学理工
  • Invited
• [Presentation] 特異的領域変形と楕円型作用素の固有値の挙動 (2022)
  • Author(s): 神保秀一
  • Organizer: 第８回偏微分方程式レクチャーシリーズ, 福岡工業大学
  • Invited
• [Presentation] メトリックグラフ上の Heat Kernel II (2022)
  • Author(s): 神保秀一
  • Organizer: 非線形現象の数値シミュレーションと解析ミニ研究会,
  • Invited
• [Presentation] A semilinear parabolic equation in a simple unbounded metric graph (2022)
  • Author(s): Shuichi JIMBO
  • Organizer: North Eastern Symposium for Mathematical Analysis
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Semilinear parabolic equations in a simple unbounded graph (2021)
  • Author(s): Shuichi JIMBO
  • Organizer: 第１７回非線型の諸問題
  • Invited
• [Presentation] Singular deformation of domains and several spectral problems (online series lecture) (2021)
  • Author(s): Shuichi JIMBO
  • Organizer: Mini-courses in Mathematical Analysis (Padova University)
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Y-shaped graph and time entire solutions of the Allen-Cahn equation (2019)
  • Author(s): Shuichi JIMBO
  • Organizer: Workshop on New Trends in Variational Models, Fields Institute, Toronto Univ.
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Spectral properties of thin elastic rod - modes of bending, torsion and stretching, (2019)
  • Author(s): Shuichi JIMBO
  • Organizer: PDE on thin domains and related topics, Tokyo Metropolitan Univ.
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Time entire solution of the Allen-Cahn equation in the star graph (2019)
  • Author(s): 神保秀一
  • Organizer: 日本数学会、企画特別講演
  • Invited
• [Book] 複素関数論の基礎 (2024)
  • Author(s): 本多尚文, 神保秀一, 梅田陽子
  • Total Pages: 154
  • Publisher: 数理工学社
  • ISBN: 9784864811071
• [Book] 多変数の微積分とベクトル解析 (2020)
  • Author(s): 神保秀一、久保英夫
  • Total Pages: 176
  • Publisher: 数理工学社
  • ISBN: 9784864810685