A billiard problem arising from self-propelling particles
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19K03626
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 12040:Applied mathematics and statistics-related
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
宮路 智行 京都大学, 理学研究科, 准教授 (20613342)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
SINCLAIR Robert 法政大学, 経済学部, 客員教授 (50423744)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥4,420,000 (Direct Cost: ¥3,400,000、Indirect Cost: ¥1,020,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Fiscal Year 2019: ¥1,690,000 (Direct Cost: ¥1,300,000、Indirect Cost: ¥390,000)
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| Keywords | 自己駆動粒子 / 数理モデリング / ビリヤード問題 / 力学系 / 微分方程式 / 数値シミュレーション |
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| Outline of Research at the Start |
非線形・非平衡現象によって自己組織的に駆動力を獲得して動く自己駆動的な剛体円板を有界領域に閉じ込めると，ビリヤードのような直進・反射運動が観察される．その反射規則は光の反射と異なり，反射角が入射角より大きくなるようである．その結果，領域を動き回る円板の軌道もまた完全弾性反射によるものとは異なる様相を示すと考えられる．本研究では円板と領域のサイズ比に応じた異なるレベルの数理モデルを通じて，その階層間の関連に着目しながら，反射規則という局所的な規則と円板の描く軌道という大域的なパターンとの関係の数理的理解を目指す．
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| Outline of Annual Research Achievements |
領域内部では漸近的に等速直線運動し，領域の境界と反発的に相互作用する自己駆動粒子の反射運動における入射角と反射角の関係を研究している．ここでの反射は境界に衝突しての完全弾性反射ではなく，入射角より反射角の方が大きくなることが観察される．入射角と反射角の間の関数関係について粒子が非常にゆっくり動く極限においてその関数形の予想を得て，それを支持する数値実験結果を得た研究について日本数学会年会等で発表した．また，本研究課題におけるこれまでの成果を論文にとりまとめた．
本研究で扱っている常微分方程式モデルは平面上のある種の反応拡散方程式系のスポットダイナミクスを記述する縮約モデルとして導出されるものである．この縮約の前提となるのが，反応拡散方程式系の進行スポット解の進行速度が十分遅い（系のパラメータが分岐点んに十分近い）という仮定である．我々が得た予想は常微分方程式モデルに対するものではあるが，この仮定から，反応拡散系においても同様の反射規則が成り立つのではないか．そうだとすれば，スポットダイナミクスのさらなる理解の足掛かりとして意義をもつと期待できる．
一方で，縮約モデルということから，相互作用項はそれに由来する関数形になっている．本研究で得られた予想が，反応拡散系に限らず，反発的に相互作用する自己駆動粒子に普遍的に成り立つのかという問題がある．そこで，境界との相互作用を表す項の一般化を検討した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
年度当初の方策通り，学会等での研究成果発表や論文作成ができたため，おおむね順調に進展していると言える．
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究目的をより精緻に達成するため，再度補助事業期間を延長した．本年度は学会等での研究成果発表など研究成果の発信を行い，研究成果の一般化に向けた追加の数値実験や数学解析を行う．
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Report
(4 results)
Research Products
(6 results)
