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Properties of new types of orthogonal polynomials and extensions of exactly solvable quantum mechanical systems

Research Project

Project/Area Number 19K03667
Research Category

Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

Allocation TypeMulti-year Fund
Section一般
Review Section Basic Section 13010:Mathematical physics and fundamental theory of condensed matter physics-related
Research InstitutionShinshu University

Principal Investigator

Odake Satoru  信州大学, 学術研究院理学系, 教授 (40252051)

Project Period (FY) 2019-04-01 – 2023-03-31
Project Status Completed (Fiscal Year 2022)
Budget Amount *help
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2022: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2021: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2020: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2019: ¥1,950,000 (Direct Cost: ¥1,500,000、Indirect Cost: ¥450,000)
Keywords例外・多添字直交多項式 / 解ける量子力学模型 / 離散量子力学 / 再帰関係式 / ダルブー変換 / ロンスキアン・カソラティアン / 自由振動子表示 / マルコフ連鎖 / 数理物理 / 例外直交多項式・多添字直交多項式 / アスキースキームの直交多項式 / 離散直交性 / 形状不変性 / 閉関係式 / 新しいタイプの直交多項式
Outline of Research at the Start

直交多項式は数学・物理学に留まらず工学などの様々な分野に現れてくる重要なものであるが,10年程前に新しいタイプの直交多項式が発見され,精力的に研究が進められている。この様な直交多項式を,数学者とは違った視点で,量子力学模型を用いて調べている点が本研究の特徴である。新しいタイプの直交多項式の性質の解明や解ける量子力学模型の拡張を更に推し進め,これらの新しい知見を得る事を目的としている。今回は特に再帰関係式の性質の解明と多自由度への拡張を目指している。

Outline of Final Research Achievements

We have constructed a new type of orthogonal polynomials, the multi-indexed orthogonal polynomials, which form a complete set in spite of missing degrees, using integrable deformations of quantum mechanical models, and constructed the case-(1) multi-indexed orthogonal polynomials for the remaining continuous Hahn polynomial. Then, instead of the three term recurrence relations that characterize the ordinary orthogonal polynomials, we obtained appropriate recurrence relations and constructed creation/annihilation operators. The Wronskian and Casoratian appear in the Darboux transformations that give integrable deformations of quantum mechanical models, and we showed the general identities for the Casoratian. Taking advantage of the knowledge of orthogonal polynomials obtained in these studies, we also constructed solvable Markov chains using the convolution of the weight functions of the orthogonal polynomials.

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

直交多項式の理論は数学の一分野であるが,水素原子の量子力学に見られる様に物理学において重要な役割を果たしているだけでなく,工学などの様々な分野にも現れている。次数に欠落があるにも拘らず完全系を成す新しいタイプの直交多項式である多添字直交多項式が近年勢力的に調べられている。本研究では量子力学模型の可積分変形を利用して多添字直交多項式を構成し,その性質として再起関係式を見出し,生成消滅演算子を構成した。また,直交多項式を利用して解けるマルコフ連鎖の構成も行った。これらは直交多項式及びその周辺の話題に新しい知見をもたらした。

Report

(5 results)
  • 2022 Annual Research Report   Final Research Report ( PDF )
  • 2021 Research-status Report
  • 2020 Research-status Report
  • 2019 Research-status Report
  • Research Products

    (14 results)

All 2023 2022 2021 2020 2019 Other

All Journal Article (5 results) (of which Peer Reviewed: 5 results,  Open Access: 5 results) Presentation (7 results) Remarks (2 results)

  • [Journal Article] Markov chains generated by convolutions of orthogonality measures2022

    • Author(s)
      Odake Satoru、Sasaki Ryu
    • Journal Title

      Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical

      Volume: 55 Issue: 27 Pages: 275201-275201

    • DOI

      10.1088/1751-8121/ac736a

    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] Free oscillator realization of Laguerre polynomials2022

    • Author(s)
      Odake S.
    • Journal Title

      Theoretical and Mathematical Physics

      Volume: 210 Issue: 1 Pages: 1-7

    • DOI

      10.1134/s0040577922010019

    • Related Report
      2021 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] Recurrence relations of the multi-indexed orthogonal polynomials VI : Meixner-Pollaczek and continuous Hahn types2020

    • Author(s)
      Odake Satoru
    • Journal Title

      Journal of Mathematical Physics

      Volume: 61 Issue: 5 Pages: 053505-053505

    • DOI

      10.1063/1.5144338

    • Related Report
      2020 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] Wronskian/Casoratian identities and their application to quantum mechanical systems2020

    • Author(s)
      Odake Satoru
    • Journal Title

      Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical

      Volume: 53 Issue: 36 Pages: 365202-365202

    • DOI

      10.1088/1751-8121/aba0ef

    • Related Report
      2020 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] Exactly solvable discrete quantum mechanical systems and multi-indexed orthogonal polynomials of the continuous Hahn and Meixner-Pollaczek types2019

    • Author(s)
      Odake Satoru
    • Journal Title

      Progress of Theoretical and Experimental Physics

      Volume: 2019 Issue: 12

    • DOI

      10.1093/ptep/ptz124

    • Related Report
      2019 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Presentation] 状態追加のダルブー変換で得られる新しい有限型の多添字直交多項式2023

    • Author(s)
      小竹悟
    • Organizer
      日本物理学会2023年春季大会
    • Related Report
      2022 Annual Research Report
  • [Presentation] 虚数シフトの離散量子力学に現れる多添字直交多項式の離散直交性2022

    • Author(s)
      小竹悟
    • Organizer
      日本物理学会第77回年次大会
    • Related Report
      2021 Research-status Report
  • [Presentation] 直交多項式の測度の畳み込みで構成される解けるマルコフ連鎖2021

    • Author(s)
      小竹悟,佐々木隆
    • Organizer
      日本物理学会2021年秋季大会
    • Related Report
      2021 Research-status Report
  • [Presentation] ラゲール多項式の自由振動子表示2021

    • Author(s)
      小竹悟
    • Organizer
      日本物理学会第76回年次大会
    • Related Report
      2020 Research-status Report
  • [Presentation] ロンスキアン・カソラティアン恒等式とその量子力学模型への応用2020

    • Author(s)
      小竹悟
    • Organizer
      日本物理学会2020年秋季大会
    • Related Report
      2020 Research-status Report
  • [Presentation] 多添字Meixner-Pollaczek・連続Hahn直交多項式の再帰関係式と生成消滅演算子2020

    • Author(s)
      小竹悟
    • Organizer
      日本物理学会第75回年次大会
    • Related Report
      2019 Research-status Report
  • [Presentation] 新しい解ける離散量子力学模型と多添字連続Hahn直交多項式2019

    • Author(s)
      小竹悟
    • Organizer
      日本物理学会2019年秋季大会
    • Related Report
      2019 Research-status Report
  • [Remarks] Recent Papers

    • URL

      https://azusa.shinshu-u.ac.jp/~odake/paper.html

    • Related Report
      2022 Annual Research Report 2021 Research-status Report 2020 Research-status Report
  • [Remarks] Recent Papers

    • URL

      http://azusa.shinshu-u.ac.jp/~odake/paper.html

    • Related Report
      2019 Research-status Report

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Published: 2019-04-18   Modified: 2024-01-30  

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