接触角構造を伴う界面ダイナミクスに対する幾何解析的研究
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19K14572
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
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| Research Institution | Muroran Institute of Technology (2021-2022)
Kyushu University (2019-2020) |
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Principal Investigator |
可香谷 隆 室蘭工業大学, 大学院工学研究科, 准教授 (60814431)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥4,030,000 (Direct Cost: ¥3,100,000、Indirect Cost: ¥930,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2021: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2019: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
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| Keywords | 曲面の発展方程式 / 接触角 / 自由境界値問題 / 漸近挙動 / 偏微分方程式 / 変分問題 / 幾何学的測度論 |
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| Outline of Research at the Start |
本研究では，ある領域内の曲面が，その領域の境界において与えられた接触角を生成しつつ，時間発展するモデルとして記述される，接触角条件付きの曲面の発展方程式を研究対象とする．また，その曲面の発展を記述す偏微分方程式については，平均曲率流方程式，表面拡散方程式，及び体積保存型平均曲率流を研究対象とする．本研究では，上記のモデルに対し，領域の境界付近での特異性を伴う動く曲面の時間大域的な挙動解析と，時間遠方での解の漸近挙動解析を目標とする．特に，漸近挙動に関しては，領域の境界の形状や，接触角条件の違法性の影響が現れうるため，その解明を行うことが目標である．
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では，接触角条件付きの曲面の発展方程式の解析を目標としてる．本年度の研究実績の概要は以下の通りである．
(1)高棹圭介氏(京都大学)と水野将司氏(日本大学)との共同研究として，三重点を持つネットワークの曲率流に対する解の時間局所存在性理論の構築と漸近挙動解析を行い，論文として受理された．扱っている方程式は古典的な曲率流方程式とは異なり，結晶方位に相当するパラメータを導入した曲率流方程式を研究対象とした．このパラメータの導入により，解である曲線が三重点で生成する角度は，古典的な曲率流と異なり，時間依存する．それ故に，解の漸近挙動や正則性理論で重要であった変分構造で違いが見られるが，本研究により，変分構造を用いた解析手法は，本研究で扱っている方程式に対しても拡張できることを示し，漸近挙動解析を行なった．
(2)柳青氏(沖縄科学技術大学院大学)と三竹大寿氏(東京大学)との共同研究として，接触角構造は伴わないが，非局所項を伴う曲面の発展方程式に対する解の凸性の保存性の考察を行い，論文として投稿し，出版された．ただし，本研究では，レベルセット法によって表記される方程式を扱っており，非局所項もレベルセットによって曲面を記述する関数によって表記される汎関数として表記されるものを想定している．凸性についても，より詳細には，レベルセットによって曲面を記述する関数に対する準凸性の保存を示している．本研究の特色として，非局所項を伴う曲面の発展方程式においては，一般的に解の特異性の発生が起こることがあるが，本研究では粘性解を用いた解析を行っているため，特異性を伴う解に対しても，曲面の凸性を示したこととなる．また，本研究の発展として，レベルセットによって曲面を記述する関数に対する漸近挙動解析も行っており，現在論文作成中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
(1)結晶方位を導入したモデルに対する先行研究は幾つかあり，曲線の運動方程式を導入した場合のネットワークに関する研究としては，新規性が高いように思われる．一方，研究対象であるモデルにおいて，結晶方位差の解の挙動に与える影響を関数として記述しているが，本研究では，その関数に対する凸性を仮定している．関数が非凸の場合には，より複雑な解の挙動が期待されるが，本研究では明らかにしていない．
(2)曲面の発展方程式の分野において，非局所項を伴う曲面の発展方程式を研究対象とすることは自然である．本研究により，特異性を伴う解に対しても，凸性が保存される構造を解析したこととなる．
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| Strategy for Future Research Activity |
(1)については，上記で述べた関数に対する凸性を仮定しない場合の解の挙動解析も研究対象としたい．
(2)については，まずは現在論文作成中の漸近挙動解析の結果をまとめたいと考えている．また，更なる発展として，一般的に，曲面の発展方程式に対する接触角条件は，レベルセット法によって導出される偏微分方程式での境界条件としての表記方法は既に研究されているため，その境界条件を課した際の凸性保存性の解明などが研究課題として挙げられる．
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Report
(4 results)
Research Products
(32 results)
