疎行列を係数とする線形方程式の反復解法と精度保証付き数値計算法の融合
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20H04195
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 60090:High performance computing-related
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| Research Institution | Shibaura Institute of Technology |
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Principal Investigator |
尾崎 克久 芝浦工業大学, システム理工学部, 教授 (90434282)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
荻田 武史 東京女子大学, 現代教養学部, 教授 (00339615)
相原 研輔 東京都市大学, 情報工学部, 准教授 (70735498)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Project Status |
Completed (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥16,900,000 (Direct Cost: ¥13,000,000、Indirect Cost: ¥3,900,000)
Fiscal Year 2022: ¥5,980,000 (Direct Cost: ¥4,600,000、Indirect Cost: ¥1,380,000)
Fiscal Year 2021: ¥7,280,000 (Direct Cost: ¥5,600,000、Indirect Cost: ¥1,680,000)
Fiscal Year 2020: ¥3,640,000 (Direct Cost: ¥2,800,000、Indirect Cost: ¥840,000)
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| Keywords | 精度保証付き数値計算 / 連立一次方程式 / 反復解法 / 数値線形代数 / 高性能計算 |
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| Outline of Research at the Start |
数値線形代数は，物理現象，社会現象のシミュレーションを含む非常に多くの分野に応用があり，科学技術計算に必要不可欠である．特に，疎行列を係数行列とする連立一次方程式は多くの問題に現れ，主に反復解法を用いて近似解を得る．従来の反復解法では，相対残差を基準として収束判定を行うことが多く，「収束しない」，または「不正確な結果を得る」など，精度面に問題がある事例がある．また精度の検証に関する第二の選択肢として，複数の近似解法において得た近似解を比較する方法がある．本研究では，精度の検証に関する第三の選択肢として「誤差」に着目した精度保証付き数値計算を展開し，高速・高信頼数値計算の基盤研究を行う．
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該年度は、疎行列向けのクリロフ部分空間法の高精度化と高精度な行列積の計算法の開発に取り組んだ。連立一次方程式の反復解法では、残差ノルムが減少したとしても、誤差ノルムは一定のレベルで停滞してしまい、十分な精度の近似解が得られない問題が生じることが知られている。古典的な高精度化の手法としては、近似解の更新に用いる探索方向ベクトルをグループ化することで、丸め誤差の影響を抑制する「Groupwise更新戦略」が知られていたが、悪条件な方程式に対しては、反復過程で深刻な情報落ちが発生し、必ずしも精度改善が達成されない。そこで我々は、効率よく情報落ちを回避するため、グループ化に多倍長演算を部分活用した混合精度型のアルゴリズムを新たに開発した。メモリ律速な倍々精度での実装において、計算時間をほとんど増大させることなく、大幅に近似解精度を向上させることに成功した。なお、誤差ノルムの評価については厳密性が重要となるが、提唱している真の解が分かるテスト問題の生成法を活用することで、提案アルゴリズムの高い信頼性を示すことができた。以上の研究成果は，国際会議や国内学会などで口頭発表し、学術雑誌Japan Journal of Industrial and Applied Mathematicsへの掲載に至った。
高精度に行列積を計算するときに、最適化されたルーチンを使用した計算方法（通称尾崎スキーム）が知られている。これは行列積を３，６，１０，１５回と計算することにより、高信頼な計算結果が得られる手法で、近年再注目されている手法である。行列積を４、５、８、９回計算する新しい手法を開発し、コストと精度のトレードオフを理論的にも実験的にも示し、論文投稿を行った。
総じて、本科研費で目標としていた「精度保証的な考え方により反復解法の発展に寄与する」ことに成功できた。
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| Research Progress Status |
令和4年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
令和4年度が最終年度であるため、記入しない。
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Report
(3 results)
Research Products
(47 results)
