| Project/Area Number |
20K14299
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Meiji University (2020, 2022)
Tokyo University of Science (2021) |
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Principal Investigator |
遠藤 直樹 明治大学, 政治経済学部, 専任講師 (30782510)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,560,000 (Direct Cost: ¥1,200,000、Indirect Cost: ¥360,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
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| Keywords | Cohen-Macaulay環 / Gorenstein環 / Goto環 / Sally加群 / Almost Gorenstein環 / Arf環 / Weakly Arf環 |
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| Outline of Research at the Start |
本研究の主題は可換環論である。現代可換環論の研究領域は多岐に渡るが, 本研究では「Cohen-Macaulay環の階層化問題」に従事する。即ち，可換環論の中でも最重要の研究対象であるCohen-Macaulay環に対して，新たな環のクラスを提示し，Gorenstein性との差異を指標とした階層化を通して，可換環論に新たな展望を齎すことを目標とする。
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目標は, 可換環論の中でも最重要の研究対象の一つであるCohen-Macaulay環に対して, 新たな環のクラスを提示し, Gorenstein性との差異を指標とした階層化を通して, 可換環論に新たな展望を齎すことにある。
本研究において導入したn-Goto環（以前にn-almost Gorenstein環と呼んでいたものである）は，非負整数nが小さくなるにつれてGorenstein環に近づき, nが大きくなるにつれてGorenstein環から遠ざかるよう構成されており, 正にGorenstein環とCohen-Macaulay環の間のきめ細やかな階層を与えるものである。研究代表者は，昨年度までに構築した1次元のGoto環の基礎理論をより発展させるべく，2022年度は高次元の理論構築に従事した。具体的な成果としては, 例えば, 環のGoto性がsuper-regular sequencesによる剰余で不変であることを示し, 1次元の理論を併用することで, 任意のKrull次元を持つn-Goto環を構成した。また, Goto環を解析する中で既存のGorenstein環及びalmost Gorenstein環に対する特徴付けも得られた。その他, 対称行列の行列式環のalmost Gorenstien性を一般線形群の表現論の技術を用いて特徴付けることにも成功し, 加えて, 重複度3の数値半群環内の2元生成Ulrich idealsを全て決定した。
研究代表者は，2022年9月と2023年3月の日本数学会や2023年3月の第11回Japan-Vietnam Joint Seminar on Commutative Algebraを始めとした各種研究集会に出席し，成果発表と合わせて，情報収集及び研究連絡に従事した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
昨年度までと比べ, 2022年度は国内外の情勢がある程度改善している。依然として, 新型コロナウイルス感染症拡大の影響を受けつつも，国内外における各種学会や研究集会等については, 対面形式やハイブリッド形式の開催が増えてきた。これまでのZoomやSlack等のオンラインツールを用いた共同研究者との議論を継続しつつ, 何度かは対面での議論の機会にも恵まれたため, 研究の進捗状況は当初の予定通りである。以上により，現在までの進捗状況は「おおむね順調に進行している」と判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
2023年度も新型コロナウイルス感染症の影響を注視しつつ, 国内外の情勢を踏まえ, オンラインツールを用いた遠隔での議論と対面での議論を柔軟に併用しながら研究活動を展開する計画である。各種研究集会に関しても, 可能な限り, 対面での参加を検討したい。具体的な課題としては, 2023年度は高次元Goto環の理論の更なる充実を目指しつつ, 並行して，2次元超曲面上のUlrich idealsの解析等にも着手する計画である。
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