Project/Area Number |
20K14347
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Research Category |
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
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Allocation Type | Multi-year Fund |
Review Section |
Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
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Research Institution | Osaka Metropolitan University (2022) Osaka City University (2020-2021) |
Principal Investigator |
阿部 健 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 准教授 (80748327)
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Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
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Keywords | 渦輪 / 軌道安定性 / 磁場 / フォースフリー場 / 緩和理論 / テーラー緩和 / オイラー方程式 / 進行波 / ベルトラミ場 / 軸対称解 / 進行波解 |
Outline of Research at the Start |
本研究は非圧縮理想流体の運動方程式であるオイラー方程式の数学解析を行うものである. 3次元オイラー方程式は近年凸積分の手法により乱流についての予想が解決される重要な進展があったが, 発展方程式的手法による解析は進んでいない. 研究代表者阿部は近年, 軸対称解に焦点を当てこの問題に取り組み, 渦輪と呼ばれるオイラー方程式の進行波解が重要な役割を果たすことを発見した. 渦輪は非線形波動方程式の観点からはソリトンのようにも思えるが, その性質は未知である. 本研究では進行波解の基本的な性質である軌道安定性に焦点を当て, 厳密解であるラムの渦対・ヒルの球形渦輪を含む渦対・渦輪に対して渦法を用いて軌道安定性定理を確立する.
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Outline of Annual Research Achievements |
2022年度は2次元オイラー方程式, 3次元軸対称オイラー方程式における渦対, 渦輪の軌道安定性の研究を, 理想MHDへ拡張し磁場の安定性の問題に応用した. 逆転磁場ピンチにおけるMHD乱流の重要なコヒーレント構造はテーラー状態を呼ばれるエネルギー最小フォースフリー場である. テーラー状態の安定性は微小な抵抗の下でのラグアンジアン部分領域上の劣ヘリシティーの散逸と全ヘリシティーの保存を前提としており, この仮説はテーラー予想と呼ばれる. テイラー予想の数学的研究は90年代後半に開始され, 近年ファラコとリンドバーグによりルレイホップ解の弱理想極限を用いたテーラー予想の数学的証明が与えている. Convex integrationを用いた弱解の構成の研究も行われており, 緩和理論に沿った散逸をもつ弱解や, 反対にヘリシティーが増大するような奇妙な弱解も構成されている. 本研究ではまずテーラー予想の帰結として, テーラー状態の安定性がルレイホップ解の弱理想極限の枠組みで得られることを見出した. 一方で最近のコンピューターシミュレーションではテーラー状態ではなく, 非線形フォースフリー場に緩和するMHD乱流が観測されている. 非線形フォースフリー場の存在は対称性がない場合不明であるが, 明示的な軸対称解がチャンドラセカール(1956)により発見されている. 本研究ではチャンドラセカール解を用いてテーラー緩和に基づく非線形フォースフリー場の緩和理論を提唱した. 即ち, チャンドラセカール解のMHD軌道安定性を軸対称ルレイホップ解の弱理想極限の枠組みで確立した. この結果はプレプリントとして纏め, arXiv, 査読つき学術雑誌に投稿した. 年度の後半は3次元定常オイラー方程式の斉次解の研究を行い, 斉次性と解の存在, 非存在の関係について予備的な結果を得た.
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Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の計画では渦対, 渦輪のオイラー方程式における軌道安定性が研究目的であったが, これらのコヒーレント構造の安定性は乱流の双カスケードに基づき, MHD乱流に応用可能であることがわかった. またフォースフリー場の研究からオイラー方程式の斉次解の存在もわかった. プレプリントの執筆が予定よりも遅いが, おおむね順調に進展していると評価して良いだろう.
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Strategy for Future Research Activity |
2次元オイラー方程式の時間無限大の挙動についての重要な予想は渦度の弱コンパクト性である. この予想の解決に向けて, 自己相似解, 漸近安定性, mixing, anomalous dissipation, 不変測度などの研究を取り入れてMHD乱流の場合も含めて研究を進める.
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