| Project/Area Number |
21K03299
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 12010:Basic analysis-related
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
厚地 淳 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 教授 (00221044)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
金子 宏 東京理科大学, 理学部第一部数学科, 教授 (90194919)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2024)
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| Budget Amount *help |
¥4,030,000 (Direct Cost: ¥3,100,000、Indirect Cost: ¥930,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2021: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
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| Keywords | ネヴァンリンナ理論 / グラフ上の拡散過程 / 有理形関数 / トロピカル幾何学 / ディリクレ形式 / 正則写像 / 値分布論 / Nevanlinna理論 / 破綻関数 / Liouville型定理 |
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| Outline of Research at the Start |
有理形関数に対して成り立つネヴァンリンナ理論を、空間の確率論的特性に注目して、様々な一般的な空間を定義域とする関数に対する理論に拡張する。まず、既知のトロピカルネヴァンリンナ理論をブラウン運動を用いて定式化する。さらに、ネットワーク上の拡散過程を用いて高次元トロピカルネヴァンリンナ理論の確立を目指す。また、ネヴァンリンナ理論の個数関数の一般化として得られる破綻関数を研究し、一般空間の劣調和関数の解析や、滑らかでない調和写像に対する Liouville 型定理を研究する。一般的なケーラー多様体上の拡散過程を用いて同次元ネヴァンリンナ理論を拡張する。
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度までの研究では、ネヴァンリンナ理論の手法に確率論的方法を援用することにより、グラフ上の関数のネヴァンリンナ理論を定式化したが、これをさらにグラフ間の写像の値分布論として展開することを考えた. この方向の研究対象として、特に、グラフ間の写像として調和射(harmonic morphism) を考える. 調和射の概念はもともとリーマン多様体間の写像に対するものとして考えられた. 調和射は調和関数を保存する、すなわち、写像の値域の多様体上の調和関数に調和射を合成した関数が、写像の定義域上の調和関数となるという性質によって特徴づけられる. これを確率論的に解釈すると、調和射は定義域上のブラウン運動を値域上の時間変更を施したブラウン運動に写す写像と捉えることができる. グラフ間の調和射の概念は、浦川により導入されたが、そこではグラフには重み付けがされておらず、本研究ではこれを重み付き無限グラフ間の写像に拡張した. リーマン多様体間の調和射の場合のブラウン運動の役割を果たすものとして、本研究ではグラフの重みから定義されるラプラシアンを生成作用素に持つ確率過程を考えた. リーマン多様体間の場合と同じように、この確率過程を用いて時間変更過程による調和射の特徴づけを与えた. さらに、値域となる無限グラフがスペクトルギャップを持つ場合に、調和射に対するネヴァンリンナ理論の第一主定理の類似を証明した. 定義域の無限グラフもスペクトルギャップを持つと仮定することにより、ネヴァンリンナの第一主定理の類似を用いて、有限グラフ間の調和射に対して知られているリーマン-フルヴィッツの定理の類似を導出した.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
昨年度までの研究においては、目標としていた研究成果をおおむね達成することができ、ここまでは順調に進捗していたので、本年度は最終年度であるため本研究の総括を行い、成果発表等を行う予定であった。ところが、代表者の本務大学における業務が多忙を極め、また、家族の健康問題などが生じ、成果発表のための準備や学会への出張等に十分時間を使うことができなかった。このため、最終年度の研究の総括に不足が生じた。
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| Strategy for Future Research Activity |
新年度に入り、種々の個人的問題は解決し、また本務大学における業務についても年間の見通しが立ったので、本年度に達成できなかった成果発表のための準備と学会出張に時間を費やすことが可能となった。これにより、不足していた本研究の総括を遂行することができる見通しである。
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