拡散過程の特異性がある古典力学系による導出

• Project/Area Number: 21K03302
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 12010:Basic analysis-related
• Research Institution: Waseda University
• Principal Investigator: 梁 松 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (60324399)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2025-03-31
• Project Status: Discontinued (Fiscal Year 2024)
• Budget Amount: ¥2,600,000 (Direct Cost: ¥2,000,000、Indirect Cost: ¥600,000); Fiscal Year 2025: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000); Fiscal Year 2024: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000); Fiscal Year 2023: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000); Fiscal Year 2022: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000); Fiscal Year 2021: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
• Keywords: ブラウン運動 / 拡散過程 / 古典力学系 / 拡散過程の収束 / 強ポテンシャル / 極限過程 / 確率論

Outline of Research at the Start

本研究では、特異性を持つ場合において、ノン・ランダムな古典力学系による拡散過程の導出を目的とする。具体的には、理想気体環境に置かれた重粒子が、環境軽粒子と古典力学法則に従って相互作用しながら動くというモデルを考える。特異性が存在しても、一定の条件の下で、軽粒子の質量が０に収束するとき、重粒子の挙動（位置と速度）の極限として拡散過程を導出することにより、拡散過程のより自然な古典力学系モデルを解明することが目標である。

Outline of Annual Research Achievements

「拡散過程の特異性がある古典力学系による導出」という研究課題において、以下の二つの場合について研究を行った。（１）ポテンシャル関数は十分滑らかであるが、低初期エネルギーの軽粒子が存在する場合、（２）粒子間距離が 0 に近づくとき、ポテンシャル関数は無限大に発散する場合。具体的には、一つの重粒子を理想気体と呼ばれる無限個の軽粒子を含む環境に入れ、すべての粒子の動きは古典ニュートン力学の運動法則に従うという古典力学モデルを考える。重粒子と軽粒子の間の相互作用を与えるポテンシャル関数はコンパクトな台を持つとし、相互作用は斥力であるとする。また、軽粒子の質量が 0 に収束とき、速度と密度はそれに伴い一定のオーダーで無限大に発散する。このようなモデルに対し、上記二つの場合について、重粒子の位置と速度を表す確率過程の極限に関する研究を行った。
ポテンシャル関数は十分滑らかであり、軽粒子の初期エネルギーが十分高い場合、軽粒子は相互作用有効領域を非常に短時間で通過するので、軽粒子の挙動は、重粒子が動かないものとして得られる「凍結近似」で近似することができる。
しかし、軽粒子の初期エネルギーが十分でない場合、軽粒子の相互作用有効領域における滞在時間が非常に長くなる可能性があるため、凍結近似をそのまま適用することはできない。本研究では、滞在時間及び軽粒子の入れる範囲を詳しく評価することにより、一定の条件の下で、重粒子の位置と速度を表す確率過程はある拡散過程に収束することを証明した。
また、ポテンシャル関数は原点の近くで無限大に発散する場合については、軽粒子が相互作用有効領域にどれだけ入れるかの評価がさらに難しくなる。本研究では、新しい量を導入することにより、軽粒子の総エネルギーに対する評価を与えることによりこの問題を研究した。

Research Products

• [Journal Article] Stochastic Newton equations in the strong potential limit for the multi-dimensional case (2023)
  • Author(s): Liang Song
  • Journal Title: Stochastics and Dynamics Volume: 23 Issue: 05
  • DOI: 10.1142/s0219493723500430
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] A mechanical model of Brownian motion for one massive particle including low energy light particles in dimension d \ge 3 (2021)
  • Author(s): Song Liang
  • Journal Title: Random Oper. Stoch. Equ Volume: 29 Issue: 3 Pages: 203-235
  • DOI: 10.1515/rose-2021-2062
  • Peer Reviewed
• [Presentation] Stochastic Newton equations in strong potential limit for $ d \ge 1 $ (2023)
  • Author(s): Song Liang
  • Organizer: Stochastic Processes and Related Fields
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] ブラウン運動と古典力学系 (2023)
  • Author(s): 梁松
  • Organizer: 日本数学会
  • Invited