Construction of analysis via partitions and weights of spaces
| Project/Area Number |
21K18587
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Challenging Research (Exploratory)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
Medium-sized Section 12:Analysis, applied mathematics, and related fields
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
木上 淳 京都大学, 情報学研究科, 教授 (90202035)
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| Project Period (FY) |
2021-07-09 – 2024-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥6,370,000 (Direct Cost: ¥4,900,000、Indirect Cost: ¥1,470,000)
Fiscal Year 2023: ¥2,080,000 (Direct Cost: ¥1,600,000、Indirect Cost: ¥480,000)
Fiscal Year 2022: ¥2,080,000 (Direct Cost: ¥1,600,000、Indirect Cost: ¥480,000)
Fiscal Year 2021: ¥2,210,000 (Direct Cost: ¥1,700,000、Indirect Cost: ¥510,000)
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| Keywords | 解析学 / ソボレフ空間 / 分割 / 重み |
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| Outline of Research at the Start |
フラクタルに代表される滑らかさのない空間は、自然界をモデル化する際にも重要な役割を果たすことが知られている。従って、自然界での物理現象を記述するためには、フラクタルのような複雑な空間上で、ユークリッド空間などの滑らかな空間での「微分方程式論」やそれに付随するソボレフ空間などの関数空間の理論に相当する数学が必要となる。本研究では、複雑な空間上に微分方程式論を展開するための基礎となるソボレフ空間論などの「解析学」を構築することを目指している。
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度は、一般のコンパクトな距離空間上に、空間を近似するグラフの列の上の離散的な p-energy の列のスケーリング極限として (1, p)-Sobolev norm とそれに付随する Sobolev 空間に相当するものを構成出来るための必要十分条件として conductive homogeneity という概念を見出した。本年度は、正多角形をベースとした局所対称性をもつ自己相似集合のconductive homogeneity について研究を行った。まず、局所対称性を持つ自己相似集合と自己相似集合の isometry群という概念について定式化を行い、その幾何学的性質を研究した。特に、自己相似集合の分割から定義される距離がユークリッドの距離にたいして adapted であることを証明し、その他の結果とあわせて、一般のコンパクトな距離空間上での conductive homogeneity の理論の前提となる条件が満たされていることを確認した。更に、conductive homogeneity の必要十分条件である Knight move 条件を示す準備として、自己相似集合を近似する自然なグラフの列に対して、そのpath space の詳細な構造を研究し、十分長い path は少なくとも３つの境界と交わることを示した。この結果を用いて、
(1) 正3角形をベースとする局所対称的な自己相似集合は、Ahlfors regumar conformal 次元より大きい p についていつでも p-conductive homogeneous であること。
(2) 任意の J > 3 について、正J角形をベースとする局所対称的な自己相似集合の isometry 群が角度 2\pi/J の回転を含むならば、Ahlfors regumar conformal 次元より大きい p についていつでも p-conductive homogeneous であること。
などを得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
昨年度の一般論に引き続き、本年度は、その一般論から (1, p)-Sobolev 空間が構成できる（本質的にユークリッド空間や、微分可能多様体とは異なる）自己相似集合が豊富に存在すること、そのような自己相似集合は必ずしも対称性を持つ訳ではないことなどを示すことができた。このように、一般論＋豊富な（新しい）例を見出せたので、研究目的が、概ね達成されつつあると認識している。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究目的の達成に向けて順調に研究は進展しているので、現在のとおり粛々と研究を推進する。
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Report
(2 results)
Research Products
(3 results)
