| Project/Area Number |
22K03402
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 12030:Basic mathematics-related
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| Research Institution | Shiga University |
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Principal Investigator |
篠原 雅史 滋賀大学, 教育学系, 教授 (70432903)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
須田 庄 防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工学群), 総合教育学群, 准教授 (30710206)
野崎 寛 愛知教育大学, 教育学部, 准教授 (80632778)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,290,000 (Direct Cost: ¥3,300,000、Indirect Cost: ¥990,000)
Fiscal Year 2025: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
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| Keywords | 距離集合 / 格子 / 平面上の点配置 / Erdos distances problem / 極値組合せ論 / 代数的組合せ論 / 点の配置問題 / 擬ユークリッド空間 / 極値組み合わせ論 / 距離構造 |
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| Outline of Research at the Start |
よい点配置において，正八面体や立方体のように，現れる距離の自乗比が簡単な整数の比（1:2 や 1:2:3）で表されたり，正五角形や正十二面体のように，二次体の元として表されたりすることがある．よい点配置に現れる距離の値の代数的性質を用いてよい配置を特徴付けることが本研究の特色である．
エルデシュは平面上の n 点の点配置に現れる距離の個数は cn/sqrt(log n) より大きくなると予想した．先に述べた手法を用いて，この問題へアプローチすることが本研究の最大の目標である．
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| Outline of Annual Research Achievements |
2023年度の主な研究実績は次の2つである．
（１）d次元ユークリッド空間における k-距離集合の頂点数は \binom{d+k}{k} 以下であることが知られている．この上界の等号を満たす例のうち非自明なものは，（d,k)=(8,2) のときに Lisonek(1997) が構成した例しか知られておらず，他にこのような例があるかは未解決問題である．k=2 のときは，2-距離集合を自然に単純グラフに対応させて考えることができる．Lisonek の例は，ジョンソングラフのあるスイッチングにより得られたグラフから構成される．我々は空間を擬ユークリッド空間 R^{p,q} に拡張し、ジョンソングラフのスイッチングにより得られる 2-距離集合のうち最大の頂点数をもつものを決定した．また，同様の考察をハミンググラフに対しても行った．これら結果は，Minimal representations of graphs from the Seidel switching of the Johnson or Hamming graphs として投稿準備中である．
（２）平面上のn点集合に現れる距離の個数についてErdosにより予想された下界がある(Erdos distinct distances problem)．また，Erdos-Fishburn の予想として，7以上のkに対して現れる距離の個数kが頂点数に対して十分小さいとき，その点配置は正三角格子の部分集合になるという予想がある．点配置が P_4 を含むという強い制約の下で，k=7においてその予想が正しいことを示した．この結果に関して，応用数学合同研究集会など3つの研究集会で講演を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
目標とする予想の解決にはまだ遠いが，類似の予想を提示でき小さな糸口が見出せた．
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| Strategy for Future Research Activity |
Erdos distinct distances problem について，これまでの研究により，格子との繋がりを頼りに研究を進めていくと良いだろうという手ごたえが得られた．例えば，次のような問題に取り組む．
（１）正三角格子や正方格子上の点配置に制限し，よい距離集合を特徴付ける．
（２）適切なmに対して，頂点数がkに対して十分大きく P_m を含んでいるならば，その点配置はある格子上にのることが示せないか．
（３）禁止される距離構造をもとに，適切な条件下で点配置がP_m（または同一直線上のm点）を含んでいることが示せないか．
（４）解析的整数論を用いて，各格子に関する定数と距離の個数の下界に現れる定数の関係性について理解を深める．
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