| Project/Area Number |
22K20338
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Research Activity Start-up
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
0201:Algebra, geometry, analysis, applied mathematics,and related fields
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
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| Project Period (FY) |
2022-08-31 – 2024-03-31
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| Project Status |
Completed (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥2,860,000 (Direct Cost: ¥2,200,000、Indirect Cost: ¥660,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
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| Keywords | 測度距離空間 / 集中位相 / 測度の集中現象 / 次元が無限大に発散する空間列 / ピラミッド / 無限次元極限 / 主束構造 / Cauchy分布 / 確率分布 / ブラウン運動 / ボックス位相 / ラプラシアン / 関数不等式 |
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| Outline of Research at the Start |
本研究では，リーマン多様体や測度距離空間といった空間の列が収束するとき，各空間の上に定まる幾何解析的な量の振る舞いについて調査する．測度距離空間の収束概念として特に，測度の集中現象（高次元空間での測度の偏り現象）を基にした集中位相による収束が興味深い．集中位相は，次元が無限大に発散する空間列に対しても広く収束を許容し，実際に極限空間として無限次元空間が現れる．無限次元空間を対象に含めた収束理論の創出を目標とする．本研究では，幾何解析的な量として特に，ラプラシアンの固有値や関数不等式の最良定数に注目する．
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| Outline of Final Research Achievements |
In this study, we consider the convergence of sequences of metric measure spaces with respect to the concentration topology, which is based on the concept of concentration of measure phenomenon, and investigate the behavior of geometric analytic quantities. The convergence notion induced by the concentration topology is effective in capturing the high-dimensional aspects of spaces, and it is also interesting as a generalization of the celebrated measured Gromov-Hausdorff convergence. In our research, we develop a general theory of invariants for metric measure spaces and prove that the variance, the Poincare constant, etc., are “good” invariant. We applied them to a classification problem for the infinite-dimensional limit spaces. We also determine the limit of the generalized Cauchy distribution as the dimension diverges to infinity under suitable scaling. This discovery extends the scope of this study beyond the Riemannian geometry.
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| Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements |
本研究では，空間列の高次元挙動および無限次元極限を調査し，不変量を用いた無限次元極限の区別や新しいモデルの無限次元極限の決定などを行った．これらの成果は新たな研究の流れを構築し，研究領域を広げたとして学術的に高く評価されている．特にリーマン幾何学的な対象のみならず，高次元の確率分布やブラウン運動などを収束理論の対象として取り入れられることを指摘した意義は非常に大きい．従来以上に確率論や統計学とも密接に関係した理論に発展することが今後期待される．また本研究では，従来にない斬新な結果のみならずそれらを含む基礎理論の見直しにも取り組み，理論の体系化にも力を入れている．
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