次元が無限大に発散する空間列の幾何解析的な収束理論の展開
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22K20338
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Research Activity Start-up
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
0201:Algebra, geometry, analysis, applied mathematics,and related fields
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
数川 大輔 九州大学, 数理学研究院, 助教 (40963202)
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| Project Period (FY) |
2022-08-31 – 2024-03-31
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| Project Status |
Completed (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥2,860,000 (Direct Cost: ¥2,200,000、Indirect Cost: ¥660,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
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| Keywords | 測度距離空間 / 集中位相 / 測度の集中現象 / 次元が無限大に発散する空間列 / ピラミッド / Cauchy分布 / 確率分布 / ブラウン運動 / 無限次元極限 / ボックス位相 / 主束構造 / ラプラシアン / 関数不等式 |
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| Outline of Research at the Start |
本研究では，リーマン多様体や測度距離空間といった空間の列が収束するとき，各空間の上に定まる幾何解析的な量の振る舞いについて調査する．測度距離空間の収束概念として特に，測度の集中現象（高次元空間での測度の偏り現象）を基にした集中位相による収束が興味深い．集中位相は，次元が無限大に発散する空間列に対しても広く収束を許容し，実際に極限空間として無限次元空間が現れる．無限次元空間を対象に含めた収束理論の創出を目標とする．本研究では，幾何解析的な量として特に，ラプラシアンの固有値や関数不等式の最良定数に注目する．
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| Outline of Annual Research Achievements |
測度距離空間およびその拡張概念であるピラミッドに関して，以下の3つの研究を行った．
1つ目の研究として，福岡大学の江崎氏・三石氏と共同で，昨年度から研究している空間の錐の収束とその応用として得られるコーシー分布を持つユークリッド空間の集中位相に関する無限次元極限に関する論文を完成させ，現在投稿中である．この成果をきっかけとして，t分布，安定分布，極値分布などの様々な確率分布を持つユークリッド空間の無限次元極限の研究へと理論を発展させている．確率分布ごとに振る舞いが大きく変わることが分かっており，それに伴う困難が生じているが，いくつかの例について具体的な問題と予想を挙げることが出来ている．
2つ目の研究として，同じく江崎氏・三石氏と共同で，ブラウン運動に対応する測度距離空間および極限のピラミッドの研究を行った．ブラウン運動を有限個の時刻で観測することにより，各時刻での位置が確率的に得られる. その位置データから有限次元の測度距離空間ができるがその極限ピラミッドとブラウン運動のサンプルパス全体の空間との関係について研究した．本研究は収束理論の新たな可能性として重要視している．実際，ブラウン運動の研究で既に知られていたことを収束理論の言葉で書き直し，この関係性をある程度まで表現することが出来ている．
3つ目の研究では，東北大学の塩谷氏・愛媛大学の中島氏と共同で，昨年度に引き続き測度距離空間全体およびピラミッド全体の位相的性質について研究を行った．昨年度得られたスケーリング作用に関する主束構造について，新たに全空間の可縮性が得られ，底空間の任意のホモトピー群が自明であることが得られた．本結果は論文に加え，現在投稿中である．
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Report
(2 results)
Research Products
(15 results)
