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Mathematical innovations woven by singularity theory and geometric topology

Research Project

Project/Area Number 23H05437
Research Category

Grant-in-Aid for Scientific Research (S)

Allocation TypeSingle-year Grants
Review Section Broad Section B
Research InstitutionKyushu University

Principal Investigator

佐伯 修  九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (30201510)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 大本 亨  早稲田大学, 理工学術院, 教授 (20264400)
鎌田 聖一  大阪大学, 大学院理学研究科, 教授 (60254380)
古宇田 悠哉  慶應義塾大学, 経済学部(日吉), 教授 (20525167)
粕谷 直彦  北海道大学, 理学研究院, 准教授 (70757765)
片長 敦子  岩手大学, 教育学部, 准教授 (20373128)
Project Period (FY) 2023-04-12 – 2028-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2024)
Budget Amount *help
¥101,920,000 (Direct Cost: ¥78,400,000、Indirect Cost: ¥23,520,000)
Fiscal Year 2025: ¥20,020,000 (Direct Cost: ¥15,400,000、Indirect Cost: ¥4,620,000)
Fiscal Year 2024: ¥20,020,000 (Direct Cost: ¥15,400,000、Indirect Cost: ¥4,620,000)
Fiscal Year 2023: ¥21,840,000 (Direct Cost: ¥16,800,000、Indirect Cost: ¥5,040,000)
Keywords写像の特異点論 / 幾何的トポロジー / 多様体 / 幾何構造 / 次世代カタストロフ理論 / Reeb空間 / Reebグラフ / スペシャル・ジェネリック写像 / ホモトピー球面 / Gromollフィルトレーション / Reeb complement / 多重次元Reebグラフ
Outline of Research at the Start

近年,幾何構造を本質的に取り入れることで,幾何的トポロジーにおいて著しく重要で斬新な結果が多数得られている.本研究では,そうした強力な幾何的アイデアを写像の特異点論に持ち込み,既存の概念・定式化・手法を革新し,特に大域的特異点論の飛躍的発展を図る.また,逆に幾何的トポロジーに特異点論から新しい道を切り開き,重要な諸問題の解決を図る.さらにそうした革新的研究によって新研究領域を創成し,数学イノベーションを通して社会に大きく貢献する.

Outline of Annual Research Achievements

本研究では、強力な幾何的トポロジーのアイデアを写像の特異点論に持ち込み、既存の概念・定式化・手法を革新し、特に大域的特異点論の飛躍的発展を図る。また逆に、幾何的トポロジーに特異点論から新しい道を切り開き、重要な諸問題の解決を図る。さらにそうした革新的研究で新研究領域を創成し、数学イノベーションを通して社会に貢献することが目的である。
そのため令和5年度は、まず、コンパクト多様体上に可微分関数が与えられたとき、そのReeb空間が有限グラフの構造を持つための必要十分条件を、レベル集合の各連結成分がその近傍をどのように切断するかという観点から与えることに成功した。ここでReeb空間とは、レベル集合の連結成分全体のなす空間である。これまで多くの場合にグラフ構造を持つことは知られていたが、その完全な特徴づけが得られた意義は大きい。さらに、ホモトピー球面上のある種の標準的なスペシャル・ジェネリック写像の存在について調べ、そうした写像の存在によって定義されるホモトピー球面のなす群のフィルトレーションが、実はGromollフィルトレーションと完全に一致することを示した。このことは、スペシャル・ジェネリック写像のクラスがホモトピー球面の微分構造の観点から極めて自然なものであることも示唆している。応用面では、3次元多様体上に2つの実数値関数が与えられたとき、それらのレベル集合の位置関係を記述する際の基礎となる概念としてReeb complementという数学的対象を初めて定義し、具体的なデータに対してそれを求めるアルゴリズムの開発に着手した。また、3次元多様体上に2つの区分的線形関数が平面への写像として与えられたとき、そのReeb空間を多重次元Reebグラフを用いて求めることができることを数学的に証明し、与えられたデータに対してそれを求めるアルゴリズムの開発をある程度完了させた。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

本研究では、幾何的アイデアと特異点論的考え方を融合させて、新たな研究領域を創出することが目的である。Reeb空間は、特異点を持つ写像に対して、幾何的アイデアを用いて定義される対象であるが、これが可微分関数の場合はどのような条件下でグラフ構造を持つのかがはっきりしておらず、その応用範囲が明確でなかった。そこで令和5年度は、それがグラフ構造を持つための必要十分条件を求めることに成功した。このことは、本研究が順調に進んでいることを意味する。我々はさらに、スペシャル・ジェネリック写像という特異点論の対象を幾何的トポロジーの手法を用いて考察し、そういった写像が、ホモトピー球面の可微分構造という幾何的構造に本質的に関係していることを、Gromollフィルトレーションを通して明らかにした。これらは、特異写像が幾何的トポロジーと密接に関わっていることを如実に表しており、これにより本研究が今後さらなる発展を見せることが期待できるような、基本的な結果であると言える。さらには、実データの解析や可視化への応用も見据えた研究も、新たな概念の数学的定式化に成功するなど、かなり進展した。以上のことから、本研究課題はおおむね順調に進展していると言える。

Strategy for Future Research Activity

今後も、特異ファイバー理論、幾何構造論、写像類群、手術理論といった幾何的トポロジーに基づいた独創的観点・具体的手法に基づき研究を進めてゆく。その際、分担者や研究協力者を含めてチームとして緊密な連絡を取りながら研究を進めてゆく。なお,種々の詳細な議論や計算補助のために引き続き研究協力者(PD1名、RA1名程度)を雇用する。多様体の構造と写像の特異点については、特異値の逆像として現れる特異ファイバーに着目し、多様体の構造との関係について調べてゆく。特に4次元の場合、ゲージ理論の種々の対象が特異ファイバーを通してどのように解釈できるのかについて調べる。特異Lefschetz束構造の変形理論については、変形操作を完全なものとし、特異シンプレクティック構造の変形も明らかにして、4次元多様体の新たな不変量構築を目指す。こうした研究には豊富な具体例も必要であり、写像の構成論を効果的に用いて研究を進める。写像類群と特異写像の研究については、曲面の写像類群を特異Lefschetz束等の特異写像の記述に用い、定義域多様体との関連を詳しく調べる。特に、退化した特異ファイバーを摂動したときに現れる非特異ファイバーの記述に写像類群が本質的役割を果たすことが期待される。多様体の同境理論に基づいた不変量の定式化については、球面から普遍トム空間とそのゼロ切断のなす空間対への写像に対して有限型不変量を定義することを目指す。そのためには、空間対への写像の特異点やその変形の分類が必要であり、その研究に着手する。実多項式写像芽の理論と可微分4次元Poincare予想については、実多項式写像でMilnorファイバーが可縮多様体となる例を組織的に構成し、その特異点から得られる不変量を調べ上げるほか、結び目同境との関連も調べる。諸科学分野への応用については、データ可視化、多目的最適化に特異点論の最新の成果を応用する。

Report

(3 results)
  • 2023 Abstract ( PDF )   Comments on the Screening Results   Annual Research Report
  • Research Products

    (68 results)

All 2024 2023 Other

All Int'l Joint Research (6 results) Journal Article (12 results) (of which Int'l Joint Research: 2 results,  Peer Reviewed: 12 results,  Open Access: 3 results) Presentation (46 results) (of which Int'l Joint Research: 18 results,  Invited: 27 results) Book (1 results) Remarks (2 results) Funded Workshop (1 results)

  • [Int'l Joint Research] ベトナム数学高等研究所/FPT University Quy Nhon(ベトナム)

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  • [Journal Article] Reeb spaces of smooth functions on manifolds II2024

    • Author(s)
      Saeki Osamu
    • Journal Title

      Research in the Mathematical Sciences

      Volume: 11 Issue: 2

    • DOI

      10.1007/s40687-024-00436-z

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  • [Journal Article] Divides and hyperbolic volumes2024

    • Author(s)
      Furutani Ryoga, Koda Yuya
    • Journal Title

      ANNALI SCUOLA NORMALE SUPERIORE - CLASSE DI SCIENZE

      Volume: - Pages: 30-30

    • DOI

      10.2422/2036-2145.202309_005

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    • Author(s)
      Naohiko Kasuya and Daniele Zuddas
    • Journal Title

      Proceedings of the American Mathematical Society

      Volume: 152-2 Pages: 709-723

    • DOI

      10.1090/proc/16603

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    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] Round fold maps of n-dimensional manifolds into (n-1)-dimensional Euclidean space2023

    • Author(s)
      Kitazawa Naoki、Saeki Osamu
    • Journal Title

      Journal of Singularities

      Volume: 26 Pages: 1-12

    • DOI

      10.5427/jsing.2023.26a

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  • [Journal Article] Round fold maps on 3-manifolds2023

    • Author(s)
      Kitazawa Naoki、Saeki Osamu
    • Journal Title

      Algebraic & Geometric Topology

      Volume: 23 Issue: 8 Pages: 3745-3762

    • DOI

      10.2140/agt.2023.23.3745

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  • [Journal Article] Special generic maps and Gromoll filtration2023

    • Author(s)
      Saeki Osamu
    • Journal Title

      Sao Paulo Journal of Mathematical Sciences

      Volume: 2023 Issue: 2 Pages: 1260-1268

    • DOI

      10.1007/s40863-023-00369-5

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  • [Journal Article] Canonical stratification of definable Lie groupoids2023

    • Author(s)
      Tanabe Masato
    • Journal Title

      Journal of Singularities

      Volume: 26 Pages: 63-75

    • DOI

      10.5427/jsing.2023.26d

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    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] Positive flow-spines and contact 3-manifolds2023

    • Author(s)
      Ippei Ishii, Masaharu Ishikawa, Yuya Koda, Hironobu Naoe
    • Journal Title

      Annali di Matematica Pura ed Applicata (1923 -)

      Volume: - Issue: 5 Pages: 2091-2126

    • DOI

      10.1007/s10231-023-01314-1

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  • [Journal Article] Positive flow-spines and contact 3-manifolds, II2023

    • Author(s)
      Ishii Ippei、Ishikawa Masaharu、Koda Yuya、Naoe Hironobu
    • Journal Title

      Annali di Matematica Pura ed Applicata (1923 -)

      Volume: - Issue: 3 Pages: 2091-2126

    • DOI

      10.1007/s10231-023-01400-4

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  • [Journal Article] Presentation of the fundamental groups of complements of shadows2023

    • Author(s)
      Ishikawa Masaharu、Koda Yuya、Naoe Hironobu
    • Journal Title

      IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, European Mathematical Society Press, Berlin

      Volume: 34 Pages: 557-588

    • DOI

      10.4171/irma/34/25

    • ISBN
      9783985470242, 9783985475247
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  • [Journal Article] Twisted intersection colorings, invariants and double coverings of twisted links2023

    • Author(s)
      Ito Hiroki、Kamada Seiichi
    • Journal Title

      International Journal of Mathematics

      Volume: 34 Issue: 06

    • DOI

      10.1142/s0129167x23500325

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  • [Journal Article] A concave holomorphic filling of an overtwisted contact $3$-sphere2023

    • Author(s)
      Naohiko Kasuya and Daniele Zuddas
    • Journal Title

      Algebraic & Geometric Topology

      Volume: 23-5 Issue: 5 Pages: 2141-2156

    • DOI

      10.2140/agt.2023.23.2141

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  • [Presentation] Configuration of points on the two-sphere with geometric constraints2024

    • Author(s)
      Shizuo Kaji
    • Organizer
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    • Author(s)
      Yuya Koda
    • Organizer
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    • Author(s)
      Yuya Koda
    • Organizer
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  • [Presentation] Divides and hyperbolic volumes2024

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      Ryoga Furutani
    • Organizer
      The 19th East Asian Conference on Geometric Topology
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    • Organizer
      Algebraic Geometry, Topology, Combinatorics and Related Topics 2024
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    • Organizer
      The 19th East Asian Conference on Geometric Topology
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      小島道
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    • Organizer
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      Osamu Saeki
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      Osamu Saeki
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    • Author(s)
      Osamu Saeki
    • Organizer
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      Masato Tanabe
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      Yuya Koda
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      Yuya Koda
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      濵田 法行
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      Toshizumi Fukui
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  • [Presentation] Concordance of Morse functions on manifolds2023

    • Author(s)
      Ryosuke Ota
    • Organizer
      WORKSHOP on Algebraic and Analytic Singularities, Warsaw
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    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] Lefschetz fibrations on the Milnor fibers of cusp and simple elliptic singularities2023

    • Author(s)
      Naohiko Kasuya
    • Organizer
      Workshop "Topology of Singularities and Related Topics" (JSPS-VAST Bilateral Joint Research Project, JV2023 Quy Nhon)
    • Related Report
      2023 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 平面代数曲線補集合のハンドル分解と Kirby 図式2023

    • Author(s)
      菅原朔見
    • Organizer
      4次元トポロジー
    • Related Report
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  • [Presentation] Multi-singularity Thom polynomials2023

    • Author(s)
      Toru Ohmoto
    • Organizer
      Conference on Characteristic Classes and Singular Spaces, Univ. Kiel, Germany
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    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Multi-singularity Thom polynomials2023

    • Author(s)
      大本亨
    • Organizer
      埼玉大学数学教室談話会
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    • Invited
  • [Presentation] Non-singular extensions of circle-valued Morse functions2023

    • Author(s)
      岩倉康樹
    • Organizer
      第159回 日本数学会九州支部例会
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  • [Presentation] Non-singular extensions of circle-valued Morse functions2023

    • Author(s)
      岩倉康樹
    • Organizer
      特異点論の展開
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  • [Presentation] Non-singular extensions of circle-valued Morse functions2023

    • Author(s)
      岩倉康樹
    • Organizer
      結び目の数理VI
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  • [Presentation] Brief Introduction to Topology for Multi-objective Optimization2023

    • Author(s)
      Naoki Hamada
    • Organizer
      WORKSHOP on Mathematics for Industry, Basis of Mathematics in nanomedicine structures and life sensing, Warsaw
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    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Constructing topologically flat disks with given boundary circles in 4-manifolds2023

    • Author(s)
      Boldizsar Kalmar
    • Organizer
      Singularity theory and low dimensional topology seminar, Renyi Institute
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    • Int'l Joint Research
  • [Book] 2023度採択分 九州大学マス・フォア・インダストリ研究所 共同利用研究集会「WORKSHOP on Mathematics for Industry 2023--Basis of Mathematics in nanomedicine structures and life sensing」2024

    • Author(s)
      Osamu Saeki, Wojciech Domitrz, Stanislaw Janeczko, Marcin Zubilewicz, Michal Zwierzynski
    • Total Pages
      363
    • Publisher
      九州大学マス・フォア・インダストリ研究所
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  • [Remarks] 佐伯研究室

    • URL

      https://imi.kyushu-u.ac.jp/~saeki/index-j.html

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  • [Remarks] Saeki Laboratory

    • URL

      https://imi.kyushu-u.ac.jp/~saeki/index.html

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  • [Funded Workshop] WORKSHOP on Mathematics for Industry,Basis of Mathematics in nanomedicine structures and life sensing, Warsaw2023

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Published: 2023-04-13   Modified: 2025-04-17  

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