| Research Abstract |
深谷はモースホモトビー論の種数が高い場合を考察し、それがチャーン・サイモンズ摂動理論と一致することを予想した。そして、種数が高いモースホモトビー論が、位相不変量を与えることを証明した。
さらに、代数的K理論の位相幾何学への重要な応用である,S同境定理の“量子化"を目指した。そしてその半分である,ホワイトヘッドのねじれ,のフレアーホモロジーにもとずく定式化を行った。その応用として,ラグランジアンの交叉の問題に関して,フレアーホモロジーが消えることが,交叉の解消の十分条件ではない事を示す例を得た。
さらに深谷は小野と共同でシンプレクティック多様体の周期ハミルトン系の周期軌道に関するアーノルドの予想を証明した.証明のあらましは現在投稿中の論文,Amold Conjecture and Gromov Witten invariant for general symplectic manifolds,に述べた.(証明の詳細を述べた論文は準備中である.)
アーノルド予想はコンパクトなシンプレクティック多様体の周期ハミルトン系には,全ての周期軌道が非退化ならば,少なくとも多様体のベッチ数と同じだけの周期軌道が存在する,というものである.この予想はいろいろな特別なシンプレクティック多様体に対しては知られていて,シンプレクティック幾何学の中心問題とみなされていた.フレアーがグロモフによる概複素曲線の方法を応用して以後,解決に近づいていたが,概複素曲線の方法を一般のシンプレクティック多様体の場合に応用するにはnegative multiple coverの問題と呼ばれる困難を解決する必要があった.negative multiple coverの問題とは,リーマン面からシンプレクティック多様体への概複素曲線が,一般には単射にならず,別の複素曲線の上に何重かに分岐したものになるということである.
深谷と小野はこれが代数幾何学における数え上げ幾何学の同様な問題と並行した物である事を見抜いた.代数幾何学ではスキーム理論におけるreduced objectが導入されているが,これは本質的には上のmultiple coverと同じものである.深谷と小野はスキームの理論の無限回微分可能関数のカテゴリーでのアナロジーを建設し,さらに,多価摂動を考察することでnegative multiple coverの問題を解決した.
同じ方法はmultiple coverの問題がかかわるさまざまな局面で有効であると期待しており、位相的弦理論の分配関数である.Gromov Witten invariantを一般のシンプレクティック多様体で定義することには,すでにこの方法で成功した.
本年度の計画の目的の一つであった.無限群にかかわる種々の研究者の交流に関しては,11月末に,微分幾何学,位相幾何学,エルゴート理論,オートマトンの理論,大域解析学,などの多くの分野の研究者を集めて,研究活動をまとめた,研究会を行い,資料無限群と幾何学(大鹿健一,金井雅彦,砂田利一,服部俊昭,藤原耕二,森田健彦,山下靖著,240ページ)を制作した.
|
