幾何学的不変量とモジュライ空間の研究

1996 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 07454237
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 坂根 由昌 大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (00089872)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 加藤 信 大阪市立大学, 理学部, 助教授 (10243354) ; 長崎 生光 大阪大学, 大学院・理学研究科, 講師 (50198305) ; 小松 玄 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (60108446) ; 満渕 俊樹 大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (80116102) ; 藤木 明 大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (80027383)
• Keywords: 幾何学的不変量 / モジュライ空間 / 山辺不変量 / コンパクト・ケーラー / アインシュタイン / スカラー曲率 / 平均曲率 / 半線型波動方程式

Research Abstract

多様体上の種々の幾何学的構造とそれに付随した幾何学的不変量、およびその解のモジュライ空間について、次のような研究を行った。
正の山辺不変量を持つコンパクト・リーマン多様体からコンパクト部分多様体を除いた領域上で、最大解に関する一意性定理を示した。これを応用して、正の山辺不変量を持つコンパクト・リーマン多様体から一点を除いた領域を考え、その上のなめらかな関数をスカラー曲率として実現する完備な共形計量全体のなすモジュライ空間の構造定理を与えた。
抵抗付きの半線型波動方程式について、抵抗を無限大にしたとき、その解が存在し、しかも半線型熱方程式の解に収束することを証明した。また、この結果は古典的なEells-Sampson方程式にも適用できることを示した。
さらに、3次元ユークリッド空間内に与えられた2つの平行な平面を考えるとき、これらで囲まれる閉領域にはめ込まれた曲面であって与えられた体積を「囲む」もの全体の中での面積に関する変文問題、及び関連する平均曲率一定曲面に対する自由境界問題について論じた。
また、L^p-空間(但しp>0は1以下)に直交性の概念を定義することによって、直交分解定理が得られることや、またそういった空間のモジュライのある種のコンパクト性を示した。
コンパクト・ケーラー多様体への被約代数群への作用に関し、(準)安定性の概念を導入し、これに対し幾何学的不変式論と同様商空間の存在がケーラーのカテゴリーで示されることを証明し、(準)安定性を定義するデータが、適当な同変コホモロジー群を用いてパラメータ化されることを示した。
さらに、旗多様体には、新しい不変なアインシュタイン計量が存在することをグレブナ-基底を計算する数式処理システムを構築して示した。

Research Products

• [Publications] J-S.Park and Y.Sakane: "Invariant Einstein metrics on certain homogenous spaces" to appear in Tokyo J,Math,. (1997)
• [Publications] S.Kato: "Structure theorems of the scalar curvature equation on subdomaine of a compact Riemannian manifold" to appear in Tsukuba J,Math.
• [Publications] T,Mabuchi: "Orthogonality in the geometry of L^p-spaces" Geometric Complex Analysis,el.J.Noguchi et al.409-417 (1996)
• [Publications] N,Koiso: "On a wave equation Corresponding to geodesics" Osaka J.Math.33. 93-98 (1996)
• [Publications] N,Koiso: "On singular perturbation of a semilinear hyperbolic equation" Calc.Var.4. 89-101 (1996)
• [Publications] A,Fujiki: "Closures of orbits of C and C^* actions" Osaka J.Math.33. 365-385 (1996)