Painlev'e方程式の研究

1997 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 08454005
• Research Institution: Nagoya University
• Principal Investigator: 梅村 浩 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (40022678)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 向井 茂 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (80115641) ; 浪川 幸彦 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (20022676) ; 北岡 良之 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (40022686) ; 土屋 昭博 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (90022673) ; 青本 和彦 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (00011495)
• Keywords: Painlev'e equations / 特殊多項式 / BaeckLund変換

Research Abstract

(1)Painlev'e方程式に付随した特殊多項式を作るのに成功した。これは第2方程式のYablonskii-Vorob'evの多項式、第四方程式の岡本の多項式を一般化するものである。特に興味深い特殊多項式を第3、第5、第6方程式の代数解から生成した。
(2)第6方程式のある代数解から生成される多項式については、それらの多項式の係数がYoung図形から決まる一般線形群GL_nの表現の次数であるという予想が提出された(岡田による)。
(3)岡田の予想については最近、種子田により解決された。
(4)さらに第6方程式を使って、Jacobiの多項式を一般化した。この多項式の係数もあるYoung図形から決まるGL_nの表現の次数であるという岡田の予想がある。
(5)このようにPainlev'e方程式と表現論が結びついたのは予期できなかった収穫であり、Painlev'e方程式研究史上特記すべき出来事であろう。
(6)Yablonskii-Vorob'ev多項式は漸化式によって定義されるが、それらが実際に多項式であることは定義から明らかではない。その代数てきな証明を与えた。またその際に広田の双線形方程式が本質的に現れることを示した。
(7)Painlev'e方程式の解の変換を幾何学的に研究した。

Research Products

• [Publications] H.UMEMURA: "Galces thiory of algebrai and differential equations" Nagoya Math. J.144. 1-58 (1996)
• [Publications] H.UMEMURA: "Differential Gahis theory of infinite dimension" Nagoya Math. J.144. 59-135 (1996)
• [Publications] H.UMEMURA: "Lie-Drach-Verinot Thecry" Adv.Stridies in Pure Math.25. 311-358 (1997)
• [Publications] H.UMEMURA: "Solutions of the second and fourth Painlev'e equations" Nagoya Math. J.144. 151-198 (1997)
• [Publications] H.UMEMURA: "Special polynomials associated with the Painlev'e equations" hoc.Workshop on the special functions,. (発表予定).
• [Publications] H.UMEMURA: "Irreducilility of the Painlev'e equations" hoc.Workshop on the special functions,. (発表予定).