代数幾何学的方法による重さ半整数のジーゲル保型形式の研究

2000 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 10640044
• Research Institution: Meiji University
• Principal Investigator: 稲富 彬 明治大学, 理工学部, 教授 (20061872)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 中村 幸男 明治大学, 理工学部, 講師 (00308066) ; 佐藤 篤之 明治大学, 理工学部, 助教授 (70178705) ; 後藤 四郎 明治大学, 理工学部, 教授 (50060091) ; 対馬 龍司 明治大学, 理工学部, 助教授 (20118764)
• Keywords: ジーゲル保型形式 / ヤコビ形式 / 代数幾何学 / リーマン・ロッホの公式 / 佐武コンパクト化

Research Abstract

前々年度の研究において、次数2重さ半整数のジーゲル保型形式の空間の次元を計算した。重さ半整数のジーゲル保型形式の空間は、プラス空間と呼ばれる部分空間を持つ。この部分空間は、保型形式の持ち上げ理論に関して、非常に重要な空間である。このプラス空間と指数1のヤコビ形式の空間が同型であることが知られている。前年度および本年度は次数2のヤコビ形式の空間の次元を計算した。これによってプラス空間の次元が分かり、その構造が決定された(伊吹山・林田)。
ヤコビ形式とは、ジーゲル上半平面と複素ベクトル空間との直積空間上の正則関数であって、ジーゲル上半平面の変数に関しては保型形式のように振る舞い、複素ベクトル空間の変数に関してはテータ関数のように振る舞うもののことである。指数mのヤコビ形式は、複素ベクトル空間の変数に関して次数2mのテータ関数のように振る舞うので、次数2mのテータ関数の基底である次数2mのテータ級数の一次結合で表される。その係数はジーゲル上半平面上の正則関数である。この係数を並べてベクトルにすると、それはジーゲル上半平面上の或る保型因子に関するベクトル値保型形式になる。従ってヤコビ形式は、ジーゲル上半平面の離散群による商空間上の或る正則ベクトル束の正則切断と同一視される。この正則ベクトル束にリーマン・ロッホの公式(正則レフシェッツの固定点定理)および小平・中野の消滅定理を適用して、その正則切断の空間すなわちヤコビ形式の空間の次元を計算した。そのためにこの正則ベクトル束の構造を決定してそのチャーン類を求めた。また固定点における保型因子の値を求めるために、テータ級数の変換公式(ジーゲル)を利用した。

Research Products

• [Publications] 対馬龍司: "On the dimension formula for the spaces of Siegel cusp forms of half integral weight and degree two"数理解析研究所講究録. 1052. 42-57 (1998)
• [Publications] 対馬龍司: "On the dimension formula for the spaces of Jacobi forms of degree two"数理解析研究所講究録. 1103. 96-110 (1999)
• [Publications] S.Goto: "Cohen-Macaulayness versus negativity of a-invariants in Rees algebras associated to ideals odminimal muliplicity"J.Pure and Applied Algebra. 152. 93-107 (2000)
• [Publications] S.Goto,S.Iai: "Embeddings of certain graded rings into their canonical modules"Journal of Algebra. 228. 377-396 (2000)
• [Publications] Y.Nakamura: "Multiplicity and tight closures of Parameter ideals"明治大学理工学部研究報告. to appear.