等質空間の部分多様体とグラスマン幾何学

1999 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 10640066
• Research Institution: Tokyo University of Agriculture and Technology
• Principal Investigator: 間下 克哉 東京農工大学, 工学部, 助教授 (50157187)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 古田 高士 富山大学, 理学部, 助教授 (40215273) ; 橋本 英哉 日本工業大学, 工学部, 助教授 (60218419) ; 田崎 博之 筑波大学, 数学系, 助教授 (30179684) ; 東條 晃次 千葉工業大学, 工学部, 講師 (30296313) ; 井川 治 福島工業高等専門学校, 一般教科, 助教授 (60249745)
• Keywords: グラスマン幾何学 / 6次元球面 / CR部分多様体 / 全実部分多様体

Research Abstract

6次元球面は等質空間としてS^6=G_2/SU(3)と表される.6次元球面内の部分多様体についてグラスマン幾何学の観点から研究を行った.
S^6の接空間の3次元部分空間全体のなすグラスマン束にはリー群G_2が自然に作用し,軌道の全体は自然に実斜影平面と同一視される.S^6の3次元部分多様体でその各点における接空間が上記の軌道の一つに含まれるものを考える.この様な部分多様体の例として,全実部分多様体やCR部分多様体がある.実斜影平面のどの点に対応する軌道に対して,上記の性質を持つコンパクトな部分多様体が存在するかを決定した.(4次元部分多様体についても同様の問題が考えられるが未解決)
S^6内の3次元全実部分多様体,3次元CR部分多様体,4次元CR部分多様体等が二つ与えれたとき,それらがいつG_2の作用のもとで合同になるかを判定する条件を求めた.そこでは,これらの部分多様体に対して自然に群G_2への(局所的)持ち上げが存在することを用いた.部分的多様体の大域的な性質の研究のためには,この持ち上げを部分多様体上の束から写像として考える必要があるが,このような考察によりCR部分多様体の位相的な制約についての結果も得られた.
我々は3次元及び4次元CR部分多様対の例を豊富に得ているが,CR部分多様体の構成を,上記の持ち上げから考える方法もある.この持ち上げが満たすべき条件を,3次元CR部分多様対の場合について求めた.

Research Products

• [Publications] H.Hashimoto and K.Mashimo: "On some 3-dimensional CR-submanifolds in S^6"Nagaya Mathematical Journal. 156. 171-185 (1999)
• [Publications] K.Mashimo and K.Tojo: "Circles in Riemannian symmetric spaces"Kodai Mathematical Journal. 22. 1-14 (1999)