1998 Fiscal Year Annual Research Report
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10640180
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
田中 純一 早稲田大学, 教育学部, 教授 (60124864)
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| Keywords | Dirichlet級数 / Riemannのζ関数 / Bohr群 / エルゴード理論 |
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| Research Abstract |
この研究ではFourier解析学およびエルゴード理論を用いてDirichlet級数によって定まるBOhr群K上の解析関数の性質とそれらの応用を調べてみた.
{a_n}を複素数列とするとき,
f(s)=Σ^^∞__<n=1>(a_n)/(n^s),s=σ+it,
をDirichlet級数と呼ぶ.特にa_m・a_n・a_<mn>で|a_n|=1となるときのDirichlet級数はf(s)=II__<piprime>(1-(a_p)/(p^s))^<-1>,σ>1
とEuler積で表現され,Riemannのζ関数と強い関連性を持つ.そしてRiemannのζ関数をBohr群K上(即ち,{logr;rは正の有理数}で生成される離散群Γの双対群)へ拡張したとき,Kの軌道上にすべて現れてくる.この性質を利用し,このようなDirichlet級数はほとんどの場合1/2<σまで解析的に拡張され零点を持たないという結果を得た.
さらにN(σ,T)をβ>σ,o【less than or equal】T Riemannのζ関数の零点β+itの個数とする.流れ(K,{Tt}t∈R)のもつエルゴード性とRoucheの定理より,Riemannのζ関数の零点の分布の様子があ
定理 1/2<σ_0のときσ_0【less than or equal】σで一様にN(σ,T)=o(TlogT)となる.
この性質は既知の結果よりはあらい評価だがエルゴード理論を用いた新たな証明法であり今後改良の可能性は有ると思う.
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[Publications] H.Helson and J.Tanaka: "Singular corycles and the generator problem." Rroc.Internat.Conference on Operator Theory. 近刊.
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[Publications] 田中純一: "概周期関数の拡張と流れの上の解析性" 岩波「数学」編説. 51・2. 1-15 (1999)
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[Publications] J.Tanaka: "Extension of alucost periodic functions and analyticity on flows" Sugaku(A.M.S.). (近刊).
