1999 Fiscal Year Annual Research Report
| Project/Area Number |
10640180
|
|---|
| Research Institution | Waseda University |
|---|
Principal Investigator |
田中 純一 早稲田大学, 教育学部, 教授 (60124864)
|
|---|
| Keywords | Riemannのζ-関数 / Hardy空間 / 零点密度理論 |
|---|
| Research Abstract |
この研究はRiemannのζ関数をBohr群K上へ拡張し,関数環論とエルゴード理論を用いてζ関数の平均値定理やcritical stripでの零点密度の評価を考察する試みである.まずKを{logr;rは正の有理数}で生成される離散群Γのコンパクトな双対群とする.このときK上に自然な位相同型の1係数群{T_t}_<t∈R>が定義される.ここで1/2<uを固定し,
Zu(x)=Σ<∞/n=1>(n^u/1)Xlogn(x),x∈K,
とする.このときt→Zu(T-_t0)はζ(u+it)となりζ関数のH^2(K)内の関数への拡張となる.またZu(x)はH^2(K)の外部関数となる.
流れ(K,{T_t}_<t∈R>)のもつエルゴード性とRoucheの定理より,Riemannのζ関数のつぎのような(弱いが)一般的な平均値定理が成り立つ:
定理 任意の0<p<∞および0<lを定める.このときZ^+の適当な密度零の部分集合Jが存在し,以下の式がなりたつ:
lim__<J∋N→∞>1/(Nl) Σ<N-1/n=0>∫^<(n+1)l>_<nl>|ζ(u+it)|^<-p>dt=∫_K|Z_μ(x)|^<-p>dσ(x),
さらに同様の式が正のべき|ζ(u+it)|^pに対しても成立する.
この結果はLindelof仮説がζ関数のごく狭い範囲にその難点が起因していることを示している.
|
-
[Publications] H.Helson and J.Tanaka: "Singular cocycles and the generator problem."Proc.Internat.Conference on Operator Theory. (近刊). (2000)
-
[Publications] 田中,純一: "概周期関数の拡張と流れの上の解析性"岩波書店「数学」論説. 51・2. 1-15 (1999)
-
[Publications] J.Tanaka: "Extension of almost periodic functions and aualyticity on flows."Sugaku Expositions of Amer.Math.Soc.. (近刊). (2000)
