新谷ディセントのパーフェクトアイソメトリ、デイド予想への応用

1999 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 11440008
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 宇野 勝博 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (70176717)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 渡部 隆夫 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (30201198) ; 永友 清和 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (90172543) ; 川中 宣明 大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (10028219) ; 脇 克志 弘前大学, 理工学部, 助手 (30250591) ; 渡辺 アツミ 熊本大学, 理学部, 助教授 (90040120)
• Keywords: デイド予想 / 有限ユニタリ群 / パーフェクトアイソメトリ / 新谷ディセント / モジュラー表現 / フロベニウス写像

Research Abstract

(1) 素数が定義体の標数を割らない場合のモジュラー表現の場合、グラウバーマン対応を用いたパーフェクトアイソメトリーの構成方法を応用し、新谷ディセントの場合にも、いくつかの条件下ではあるが、パーフェクトアイソメトリーを構成することができた。さらに新谷ディセントの一般化である川中リフティングの場合もパーフェクトアイソメトリーを構成することができた。今後は、仮定として必要な条件がどこまで弱められるか、また、アイソタイプが構成できるかどうかの検討が課題である。
(2) 有限特殊ユニタリ群について、素数が定義体の標数と一致する場合のデイド予想 (通常体) の証明を試みた。準備段階として、ランクが4以下の場合を検証し、予想が成立することを確認にした。また、その過程で一般のランクの場合の証明につながる帰納法の適用について検討を進めており、そのメカニズムの解明も時間の問題と思われる。また、特殊ユニタリ群は、特殊線形群から、捻り型フロベニウス写像の固定点として現れる群である。特殊ユニタリ群と特殊線形群の間の新谷ディセント (川中リフティング) を用い、特殊ユニタリ群に対するデイド予想 (通常型) の結果から特殊線形群に対するデイド予想 (不変系) の証明を導く研究もかなり進展し、そのフォーミューレーションも捻り型フロベニウス写像と通常のフロベニウス写像の合成から得られる川中リフティングを用いまもなく完成する見込みである。フォーミュレーション完成すれば、その証明は容易であろうと思われる。

Research Products

• [Publications] Christine Bessenrodt,Katsuhiro Uno: "Character relations and simple modules in He Auslander -Reiten graph of the symmetric groups and their covering groups"Algebra and Representation Theory. (発売予定).
• [Publications] Atumi Watanabe: "The Glauberman character correspondence and perfect isometries for blocks of finite groups"Journal of Algebra. 216. 548-565 (1999)
• [Publications] Noriaki,Kawanaka: "A q-series identity involving Schar functions and related topics"Osaka Journal Math.. 36・1. 157-176 (1999)
• [Publications] Chongying Deng,Kiyokazu Nagatomo: "Representations of vertex operator algebra V_L^+ for rank one lattice L"Communications in Math Physics. 202. 169-195 (1999)
• [Publications] Takao Watanabe: "Upper bounds of Hermite constants for orthogonal groups"Commentarii Mathematics Vniv. Sancti Panli. 48. 25-33 (1999)
• [Publications] Shigeo Koshitani,Katsushi Waki: "The Green correspondents of the Mathiew group M_<12> in characteristic3"Communications in Algebra. 27・1. 37-66 (1999)
• [Publications] Atsushi Matsuo,Kiyokazu Nagatomo: "Axioms for vertex algebra and the locality of quantum field"Mathematical Society of Japan. 110 (1999)