新谷ディセントのパーフェクトアイソメトリ、デイド予想への応用

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 11440008
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 宇野 勝博 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (70176717)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 渡辺 アツミ 熊本大学, 理学部, 助教授 (90040120) ; 永友 清和 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (90172543) ; 川中 宣明 大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (10028219) ; 奥山 哲郎 北海道教育大学, 教育学部旭川校, 教授 (60128733) ; 越谷 重夫 千葉大学, 理学部, 教授 (30125926)
• Keywords: デイド予想 / パーフェクトアイソメトリ / ブルーエ予想 / 新谷ディセント / モジュラー表現

Research Abstract

1.G型の有限シュバレー群において、ブロック多元環の不足群が位数27のエクストラスペシャル群のとき、および、射影的特殊線形群、特殊ユニタリ群において、ブロック多元環の不足群が位数9の基本可換群のとき、ブルーエ予想、すなわち、ブロック多元環とそのブラウアー対応子の間に導来同値が存在することを証明した。この結果は、ブロック多元環間のパーフェクトアイソメトリーを与える。さらにデイド予想もこの結果から導かれる。
上の状況では、定義体の自己同型写像による不変部分群も同じ型の有限シュバレー群となるが、この導来同値は自己同型写像による不変部分群を対応させるという操作とコンパティブルであることが確認された。このことは、パーフェクトアイソメトリー、デイド予想も自己同型写像による不変部分群を対応させるという繰作とコンパティブルであることを意味し、まさに新谷ディセントがパーフェクトアイソメトリー、およびデイド予想を与えていることに他ならない。さらに、一般線形群の場合は、いわゆる局所的部分群のブロック多元環との関係についても考察し、局所的部分群のレベルでは、新谷ディセントと森田同値がコンパティブルであることを示した。
2.シンプレクティック群において、表現の係数体の標数が群の定義体の標数と一致する場合を考察した。階数が小さい場合、デイド予想のinvariant formの証明は完成したが、新谷ディセントとの関係については、まだよく分かっていない。
3.研究期間中にアイザックス達により新たな予想が提出されたが、この予想とデイド予想、パーフェクトアイソメトリー予想との関連を論じ、これらの予想をすべて含む予想を提出した。また、その予想をLyons, Thompson等いくつかの散在型単純群について証明した。将来、この予想を軸に研究を発展させることが必要であると思われる。

Research Products

• [Publications] Katsuhiro Uno, Satoshi Yoshiara: "Dade's conjecture for the simple O'Nan group"J. Algebra. (発表予定).
• [Publications] C.Dong, G.Mason, Kiyokazu Nagatomo: "Quasi-modular forms and trace functions associated to free boson and lattice vertex operator algebras"International Mathematics Research Notice. 8. 409-428 (2001)
• [Publications] Yoko Usami: "Principal blocks with extra-special defect groups of order 27"Advances in Pure Mathematics. 32. 413-421 (2001)
• [Publications] Tetsuro Okuyama, Katsushi Waki: "Decomposition numbers of SU(3,q^2)"J. Algebra. (発表予定).
• [Publications] Shigeo Koshitani, Gerhard Michler: "Glauberman correspondence of p-blocks of finite groups"J. Algebra. 243. 504-517 (2001)
• [Publications] Masato Sawabe, Atumi Watanabe: "On the principal blocks of finite groups with abelian sylow p-subgroups"J. Algebra. 237. 719-734 (2001)