2次元場の量子論の表現論的研究

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 11440020
• Research Institution: Nagoya University
• Principal Investigator: 土屋 昭博 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (90022673)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 中西 知樹 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (80227842) ; 太田 啓史 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (50223839) ; 青本 和彦 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (00011495) ; 粟田 英資 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (40314059) ; 林 孝宏 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (60208618)
• Keywords: 共形場理論 / 頂点作用素代数 / E_8型Elliptic Wey1群 / 原始型式 / 有利楕円曲面の周期理論 / E_8^<(1)>単純楕円特異点

Research Abstract

I.頂点作用素代数に付随した共形場理論の研究
Chiralな頂点作用素代数は1980年中頃共形場理論における作用素展開をmodelに有限群論におけるMonsterに対する応用を目指しつつBrochard, Frenkel, etc.により基礎付けがなされた。しかし、対応する共形場理論は、Virasoro代数の極小表現とAffineリー環の可積分表現に対応する場合以外はあまり発展がなかった。申請者は、大阪大学の永友清和氏と共同でChiralな頂点作用素代数の普遍展開代数とその次数零部分商代数である零mod代数を定義し、表現論を再構築するとともに、正則性の条件の下で、少なくともP^1の場合について共形ブロックの定義およびその有限次元性、対応するKZ接続の定義および共形ブロックのModili空間の境界に沿っての因子化定理の成立等ほぼ満足する結果を得た。この結果はすでに2001年11月UCLAにおける研究会で発表し、現在論文を執筆中である。
II.位相的場の量子論とその質量を持つ場合への変形について
1994年に物理学者Witten-Seiberg両氏により発表されたN=2の超対称性をもつ4次元Yang-Mills理論の低エネルギー有効理論のexact solutionに関する仕事に触発され、上記理論の質量を持つ場合への展開を考え始め、次のような暫定結果を得ている。
P^1上∞で退化しない有理楕円曲面の周期をそのMordel Weil格子の構造に注目して展開する。GenericにはMordel Weil格子はE_8型ルート格子と同型である。有理楕円曲面には正則2型式は存在しないが、∞点上のfiberにのみに1位の極をもつ有理2型はup to constantで唯一つ存在することが分かる。この有理型式による周期は∞点でのelliptic curveのαおよびβ周期(τ_1,τ_2)とModel-Weil格子上での周期m∈h_E(E_8のCartan代数)の10パラメータを持つ。この10次元の空間には斉藤恭司氏によるE_8型elliptic Weyl群のSL(2,Z)による拡大が作用している。この周期写像のMonodronyは上記の拡大群で記述される。さらに、P^2内の3次曲線のPencilを使って(τ_1,τ_2,m)を周期として持つ有理楕円曲面のWeirstrass型をA_8型Jacobi型式を使って表すことができた。また、斉藤恭司氏によるE_8^<(1)>型単純楕円特異点の変形理論における原始型式の理論との関係も明らかになった。

Research Products

• [Publications] T.Arakawa, T.Suzuki, A.Tsuchiya: "Degenerate double affine Hecke algebras and conformal field theory"Topological Field Theory, Primitive Forms and Related Topics ; the proceedings of the 38^<th> Taniguchi symposium, Ed.M.Kashiwara et al.. 1-34 (1998)