ポアソン多様体および接触多様体にかかわる幾何学の大域的研究

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 11640060
• Research Institution: Saitama University
• Principal Investigator: 水谷 忠良 埼玉大学, 理学部, 教授 (20080492)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 長瀬 正義 埼玉大学, 理学部, 教授 (30175509) ; 阪本 邦夫 埼玉大学, 理学部, 教授 (70089829) ; 奥村 正文 埼玉大学, 理学部, 教授 (60016053) ; 福井 敏純 埼玉大学, 理学部, 助教授 (90218892) ; 竹内 喜佐雄 埼玉大学, 理学部, 教授 (00011560)
• Keywords: Nambu-Poisson多様体 / Leibniz algebra / Leibniz cohomology / 中心拡大 / 特異葉層構造 / パフ系

Research Abstract

研究実績は以下のとおり.
Leibniz algebraとは,ベクトル空間gで[,]:g×g→g
[g_1,[g_2,g_3]]=[[g_1,g_2],g_3]+[g_2,[g_1,g_3]].
を満たすものであり,Lie algebraの性質から積の反対称性の条件を除いたものである.Nambu-Poisson構造に関連して,積分可能な(分解可能)p-次微分形式が与えられると(p+1)-次ベクトル場全体がLeibniz algebraの構造を持つことがわかる.さらに,このalgebraの同型類は葉層構造の同型類に対して定まり,さらに葉層に沿うベクトル場の作るLie algebraの中心拡大となっていることが観察される.当該研究では,この中心拡大とLeibniz algebraの2次元Leibnizコホモロジー元との対応を明らかにした.その結果は次の論文としてまとめた.
Y.Hagiwara-Tmizutani "Leibniz algebras associated with foliations"
これとは別に,多様体上のパフ系を余接空間の部分多様体としてみたとき,標準的なシンプレクティック構造に関してシンプレクティック部分多様体あるいはコイソトロピック部分多様体となる場合を調べ,特にコイソトロピックになる場合に,もとのパフ系が積分可能となるがそのGodbillon-Vey classを平面場のintersectionとして幾何学的に捉える試みを行った.その過程で,パフ系のカルタン系と特性類の消滅が密接に関連することがわかった.これは,特異葉層に対して何らかの意味で2次特性類を定義しようとする方向の出発点となると考えている.この方向での研究報告は2001年10月のシンポジウム「葉層構造の位相的研究」(日本大学八海山セミナーハウス)で行った.

Research Products

• [Publications] Tadayoshi Mizutani: "On Exact Poisson Manifolds of Dimension 3"Proceedings of FOLIATIONS:GEOMETRY AND DYNAMICS(ed.by P.Walczak et al). World Scientific. 371-386 (2002)
• [Publications] T.Fukui, T-C.Kuo, L.Paunescu: "Constructing Blow-analytic Isomorphisms"Ann.Inst.Fourier,Grenoble. 51. 1071-1087 (2001)
• [Publications] T.Fukui, L.Paunescu: "Stratification Theory from the Weighted Point of View"Canad.J.Math.. 53. 73-97 (2001)
• [Publications] 徳永浩雄, 島田伊知朗, 石川剛郎, 齋藤幸子, 福井敏純: "特異点の数理4 代数曲線と特異点"共立出版. 384 (2001)